Buenas noches,

Les dejo el Final de Análisis Matemático II que tomaron en el día de hoy.
Me fue mal, por lo que voy a intentar resolverlo y cuando tenga algo lo compartiré.

   


Saludos,
Juan Pablo

Les adjunto mi resolucion... revisen las cuentas por las dudas porque toy medio enfermo jeje

T1) lo pienso ...creo que lo saque .. por definicion de cambio de variable

\[\iint_{D_{xy}} f(x,y)dxdy=\iint_{D_{uv}}f(g(u,v))|D_g| dudv\]

por hipotesis

\[\iint_{D_{xy}} f(x,y)dxdy=\iint_{D_{uv}}f(g(u,v))|D_g| dudv=35\]

g esta definida por

\[g(u,v)=(2u+v,u-3v)\to |D_g|=7\]

finalmente

\[7\iint_{D_{uv}}f(g(u,v)) dudv=35\to \iint_{D_{uv}}f(g(u,v)) dudv=5\]

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T2) El conjunto de nivel tres transforma la funcion en

\[x^2y+y^2-y=0\to y[(x^2-1)+y]=0\]

entonces la region de integracion esta definida por

\[y=0\quad y=1-x^2\]

por simetria limito al primer cuadrante y multiplico por dos al area total

\[A=2\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x^2}dydx=\frac{4}{3}\]

wolfram

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E1) si la funcion admite funcion potencial entonces su matriz jacobiana es simetrica ... haciendo las cuentas

\[1+g'(x)=g(x)\]

cambio

\[y=g(x)\]

la ED a resolver es

\[y'=y-1\]

integrando o por variacion de parametros se obtiene

\[g(x)=Me^x+1\]

para obtener el valor de M utilizamos el hecho que

\[f(0,0)=(1+0,0+g(0))=(1,3)\to g(0)=3\]

reemplazando la funcion g pedida es

\[g(x)=2e^x+1\]

para hallar el potencial se cumple que

\[\nabla \varphi =f\to \dfrac{d\varphi}{dx}=1+2e^xy+y\quad \dfrac{d\varphi}{dy}=x+2e^x+1\]

integrando , la funcion potencial pedida es

\[\varphi(x,y)=x+2e^xy+yx+y+K\]

luego la circulacion es independiente de la trayectoria, por ende

\[\omega=\varphi(B)-\varphi(A)=\varphi(0,3)-\varphi(0,1)=6\]

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E2) de las restricciones impuestas se puede observar que

\[y^2\leq z\leq 4-x\]

por transitividad

\[y^2\leq 4-x\to 0\leq x\leq4-y^2\]

nuevamente por transitividad

\[0\leq4-y^2\to 0\leq y\leq 2\]

finalmente el volumen esta definido por la integral

\[V=\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-y^2}\int_{y^2}^{4-x} dzdxdy=\frac{128}{15}\]

wolfram

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E3) parametrizo la superficie sobre la cual quieren que calcule el flujo y defino la funcion vectorial g

\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=\left ( x,y,2-\frac{1}{2}x^2 \right )\]

la normal esta definida por el producto vectorial de los elementales

\[n=g'_x\times g'_y=(x,0,1)\]

orientada positivamente , luego el flujo esta definido por

\[\varphi=\iint f(g(x,y)) n dS=\iint x^2+4 dxdy\]

para los limites de integracion , utilizo las restricciones impuestas por el problema

\[0\leq y\leq x^2\]

en el prime octante implica

\[z\geq 0\to 2-\frac{1}{2}x^2\geq 0\to 0\leq x\leq 2\]

luego

\[\varphi=\int_{0}^{2}\int_{0}^{x^2}x^2+4 dydx=\frac{256}{15}\]

wolfram

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E4) defino

\[F(x,y,z)=-3x^2-y^3+3y^2-5+z\]

el gradiente es

\[\nabla F(x,y,z)=(-6x,-3y^2+6y,1)\]

el plano tangente a F es paralelo al xy entonces sus normales son proporcionales ... por algebra

\[\nabla F(x,y,z)=(-6x,-3y^2+6y,1)=\alpha(0,0,1)\]

de donde se verifica que

\[-6x=0\to x=0\quad -3y(y-2)=0\to y=0\quad y=2\]

los puntos son

\[A=(0,0) \quad B=(0,2)\]

haciendo las cuentas respectivas el hesiano de f es

\[H(x,y)=\begin{pmatrix}6 & 0\\ 0 & 6y-6\end{pmatrix}\]

luego

\[H(0,0)=\begin{pmatrix}6 & 0\\ 0 &-6\end{pmatrix}\]

punto ensilladura

\[H(0,2)=\begin{pmatrix}6 & 0\\ 0 &6\end{pmatrix}\]

minimo local

finalmente los puntos pedidos son

\[P_{ens}=(0,0,5)\quad Q_{min}=(0,2,1)\]

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avisen si mande fruta en algun lado

Saga sos groso y te debo la materia mil gracias!

Ayer aprobé este final en mi última chance antes de recursarla, ya me veía en febrero adentro de lugano haciendo el curso. (Concuerdo con tus resultados salvo el E4 que no lo hice)



CHAU AM2!!

(10-12-2014 14:26)Pianta escribió:  Saga sos groso y te debo la materia mil gracias!

Ayer aprobé este final en mi última chance antes de recursarla, ya me veía en febrero adentro de lugano haciendo el curso. (Concuerdo con tus resultados salvo el E4 que no lo hice)



CHAU AM2!!

genial Pianta felicitaciones ... una menos camino al titulo si concuerdas con mis resultados entonces me bajo la fiebre cuando lo resolvi jejeje solo a mi me da gripe a esta altura del año jajaj

Los felicito si aprobaron, yo no me tiré porque aún no la tenia muy clara, este año se me vence y es mi última chance antes del fucking curso de verano

Espero que el martes que viene me vaya bien, si saben de alguien que cobre por hacerlo estoy dispuesto a pagar jajaja.

Abrazo y gracias por el aporte.

Off-topic:

(11-12-2014 08:26)flaviodonato10 escribió:  Espero que el martes que viene me vaya bien, si saben de alguien que cobre por hacerlo estoy dispuesto a pagar jajaja.

Se acercan las vacaciones... mi tarjeta esta en rojo .... la expensas vencidas mmmm jejeje

Saga, en el H(0,0) que lo pones como un maximo local, no seria un punto nulo porque da menor a cero? Yo puse eso.

Off-topic:

Te debo la vida porque pude aprobar el final

(11-12-2014 15:00)marianoBR escribió:  Saga, en el H(0,0) que lo pones como un maximo local, no seria un punto nulo porque da menor a cero? Yo puse eso.

punto nulo ??? no entiendo Hxx>0 y el det (H)<0 por teoria eso es maximo local , no entiendo porque decis punto nulo ?

Cita:

Off-topic:

Te debo la vida porque pude aprobar el final

genial , una menos camino al titulo felicidades

Hola como andan?, hice el E1 y me dio igual menos el resultado. creo que te confundiste en tipear nomás puede ser? ami me da 6, ya que cuando reemplazo el (0,3) da 9 y cuando reemplazo el (0,1) da 3.

(11-12-2014 18:49)nacho5 escribió:  Hola como andan?, hice el E1 y me dio igual menos el resultado. creo que te confundiste en tipear nomás puede ser? ami me da 6, ya que cuando reemplazo el (0,3) da 9 y cuando reemplazo el (0,1) da 3.

por suerte aclare que estaba enfermo, y que revisen las cuentas por las dudas ... gracias por la correccion ahora lo edito

(11-12-2014 15:18)Saga escribió:  

(11-12-2014 15:00)marianoBR escribió:  Saga, en el H(0,0) que lo pones como un maximo local, no seria un punto nulo porque da menor a cero? Yo puse eso.

punto nulo ??? no entiendo Hxx>0 y el det (H)<0 por teoria eso es maximo local , no entiendo porque decis punto nulo ?

Hola, perdon si me equivoco, pero tengo entendido que cuando el det (H)<0 es punto de ensilladura.


PD: Muchas gracias SAGA, me esta sirviendo un monton todo lo que haces, MUCHAS GRACIAS

Gracias a vos por ayudarnos!

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No entiendo el E4, porque cambias los signos de f cuando definís F y agregas el Z ? , perdón por la ignorancia

(12-12-2014 00:16)nacho5 escribió:  Gracias a vos por ayudarnos!

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No entiendo el E4, porque cambias los signos de f cuando definís F y agregas el Z ? , perdón por la ignorancia

Si no me equivoco creo que quiso definir el conjunto de nivel F, o sea z = f(x,y) entonces F(x,y,z) = 0
Edit: Si te fijas simplemente lo que hizo fue despejar z = f(x,y)

(12-12-2014 02:15)Virus escribió:  

(12-12-2014 00:16)nacho5 escribió:  Gracias a vos por ayudarnos!

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No entiendo el E4, porque cambias los signos de f cuando definís F y agregas el Z ? , perdón por la ignorancia

Si no me equivoco creo que quiso definir el conjunto de nivel F, o sea z = f(x,y) entonces F(x,y,z) = 0
Edit: Si te fijas simplemente lo que hizo fue despejar z = f(x,y)

Debe ser la hora ya jaja gracias, no me di cuenta

(11-12-2014 23:59)Jaraf escribió:  Hola, perdon si me equivoco, pero tengo entendido que cuando el det (H)<0 es punto de ensilladura.

tenes toda la razon ... mande fruta ahora lo edito , gracias por la correccion ... esta bueno que entre todos lo corrigamos al final

Gracias por la aclaracion a nacho5 Virus