Hola, bueno estaba haciendo parciales de analisis y me encontre con este problema de optimizacion:

Determine la mínima distancia desde el punto (1,4) a la gráfica de y^2= 2x

la verdad que me cuesta entender como hacer estos ejercicios donde me piden la distancia de un punto a un grafico (mas que nada cuando se relacionan con graficos), me cuesta encontrar las funciones. Digamos que no se que datos tomar como para arrancar estos ejercicios.

Bueno nada mas, Gracias

Para pensarlo más fácil, te conviene hacer primero el gráfico de la función \[y^2= 2x\] y luego marcar el punto \[(1, 4)\].
De esta manera, podés ir viendo qué punto del gráfico está a más o menos distancia del \[(1, 4)\] que otro punto del mismo gráfico.

Una vez teniendo el gráfico, te recomiendo que siempre armes dos funciones...
Una es la función de enlace, que es la función que enlaza (duplica) una variable con la otra... Es la relación que hay entre una variable y la otra, por así decirlo.
La otra, es la función a optimizar, que tiene que ver con la magnitud a optimizar (puede ser volumen, capacidad... o, en este caso, distancia), que generalmente viene implícita.

Ahí te conviene, casi siempre que preguntan por "la menor distancia" entre puntos (u otros casos donde sea necesario...), usar el teorema de Pitágoras ("en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos"). En qué triángulo? Bueno, acá, con un poco de imaginación (si lo graficás se ve fácil, por eso recomiendo que primero hagas el gráfico), verás que la hipotenusa del triángulo sería la distancia a optimizar...

Me seguís?

otra forma que podes usar, sabes que los puntos de esa curva son de la forma

\[P=\left ( \frac{y^2}{2},y \right )\]

el punto que te dan es \[A=(1,4)\]

luego por definicion

\[\overline{AP}=\sqrt{\left ( \frac{y^2}{2}-1 \right )^2+(y-4)^2}\]

para ahorrar cuentas y sacarnos la raiz podes expresar

\[\overline{AP}=g^2(y)=f(y)=\left ( \frac{y^2}{2}-1 \right )^2+(y-4)^2\]

deriva f, encontra los puntos criticos, ... observa si son maximos minimos etc etc

Ahí lo hice.

El punto más cercano es el \[(2,2)\].
La distancia mínima entre tal punto y el \[(1,4)\] es de \[\sqrt{5}\].

uh gracias loco, me re salvaron, son lo mas!!