Hola gente, mañana tengo que ir a rendir el final de AM2 y bueno , resolviendo un par de finales me surgieron unas dudas que quizás me puedan ayudar a resolver.

El final del que hablo es este subido al blog analisis2.blogspot.com:

Bueno, los problemas que tengo son el ejercicio E2, 3 y 4.

En el E2 calculo directamente el flujo porque ya te dan implicitamente el vector normal (2,2,1). Hago las cuentas, despues del producto escalar me queda \[\int_{0}^{2} dx \int_ {0}^{2-x} 2ydy\]. Resuelvo eso y me -2/3, distinto a la respuesta que esta ahí que es 8/3. Hay algo que seguramente estoy haciendo mal y no me estoy dando cuenta.

Bueno en el E3 la verdad estoy un poco perdido, la recta normal dada de esa forma no la entiendo realmente pero bueno...hice esto:
X(1)=(2;3;4) => z0=4
despues
\[f(1,98;3,06) \approx 4 + (1;2) (2-1,98;3-3,02) = 3,98\]

Aca no estoy muy seguro de haberlo hecho bien. Llegue a un resultado parecido al que esta colgado por ahí, pero no estoy seguro que f'x sea 1 y que f'y sea 2. Lo saque de los valores que acompañan a lambda pero no se si esta bien, dudo mucho con respecto a esto...

Y en el E4 apliqué el teorema del rotor, el rotor de f me dio (2y-x;y;0). La curva es claramente una circunferencia de radio 2 dezplazada en el eje y.
Para aplicar el teorema del rotor puse n=(0,1,0). Me quedó:
\[\iint (2y-x;y;0)(0;1;0)dxdz = \int_ {0}^{2\pi }d\theta \int_ {0}^{2}d\rho \rho ^3\]

Esto me da 8 pi y en la respuesta dice 16pi. No se donde esta el error.


Bueno eso es todo, son bastantes dudas pero bueno, necesito la ayuda

Buenas,

Tengo resuelto ese final, mañana rindo también

E2) Creo que te están faltando algunos pasos. Los 3 puntos que te brinda el ejercicio son para que formes el plano por donde tenes que calcular el flujo, como se trata de un volumen definido entre los ejes coordenados, podes usar divergencia. Luego, es un cálculo de volumen común y silvestre.

E3) Los datos que tenes son la recta normal y un punto con lo cual vas a poder calcular la ecuación del plano tangente en el mismo. Luego como esta expresado de forma implícita z=f(x,y), podes calcular f'x=-(F'x/F'z) y f'y=-(F'y/F'z).

E4) Te esta faltando considerar el valor de "y" que te queda como resultado de multiplicar el rotor por el vector normal. Como y=4, ese valor se multiplica por el área de la circunferencia de radio 2 = 4*4pi = 16pi

Si no fui claro con mis explicaciones, avisame!

Suerte

Gracias por la ayuda fernando.

Creo que lo que me decis del E3 no esta bien porque esa cuenta no aporta nada. F = f(x,y) -z. Cuando calculas f'x = -(f'x/-1)= f'x No da ningún dato.

En el E2 tampoco estoy muy convencido porque la superficie es abierta (un pedazo de plano), así que divergencia cuestaría un montón usar. O sea tendría que restarle el flujo de los 3 planos coordenados, un quilombo me parece.

En el E4 tenes razon, me equivoque al reemplazar y por rho^2 en vez de 4.

Gracias! 1 menos jajaj

ojo en el E2 si usas divergencia hay que restar las tapas , la superficie asi como esta no cumple las condiciones del teorema de la divergencia

Resuelvo el E2)

1) Armo el plano con los 3 puntos:
\[F_{(x,y,z)}: x+y+2z=2\]

2) Busco el gradiente del plano F:
\[\bigtriangledown F_{(x,y,z)}: (1,1,2)\]

3) proyecto sobre el plano yz:
\[\left | F_{x}^{'} \right |=1\]

4) usando la formula de flujo:
\[\int \int _{S} \bar{f} . \frac{\bigtriangledown F}{\left | F_{x}^{'} \right |} Ds\]

5) Despejo x de F para reemplazar en la funcion f ya que voy a proyectar en yz:
\[x=2-2z-y\]

6) remplazo todo:
\[\int_{0}^{1} \int _{0}^{2-2z} (2-2z-y,2y,z) . (1,1,2) Dy Dz\]

7) hago producto escalar y luego integro:

8) Resultado: \[\frac{8}{3}\]

Avisen si le erre en algun lado.

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El E3)
Fijate que te dan la recta normal, eso quiere decir que te dan una recta que atravieza en un punto a la superficie en el que el vector director es normal a la superficie. Eso quiere decir que el vector director es el gradiente y ademas es distinto de cero entonces en ese punto la superficie es regular, entonces podes acercate por plano tangente.
Tenes dos formas:

1) armando el plano tangente usando
Vector normal (1,2,2) y punto (2,3,4)
todo lo obtenes de la recta normal, luego con esto armas el plano tangente y reemplazas los valores (1,98 ; 3,02), despejas z y da 3,99.

2) usando la aproximacion diferencial (creo que se llamaba asi):
como el gradiente es (1,2,2) entonces si tomas la implicita seria
\[z_{(2,3)}=4\]
\[z_{x}^{'}=-\frac{1}{2}\]
\[z_{y}^{'}=-1\]
entonces
\[f_{(1,98;3,02)}=4+\frac{1}{2}(2-x)+(3-y)=3,99\]

Espero que se entienda.

Gracias javier. Sos un grande!

En el E2 arme mal el plano, que boludo soy.

En el E3 creo que lo entendí. Para sacar f'x y f'y multiplicaste el vector normal por -1/2 no? para que te de -1 en la primer componente, o hay algo que no entendi. Pero bueno, ya lo tengo un poco mas claro

Mil gracias!