Hola gente como andan?

Bueno estoy con un ejercicio de la guia normal de Transformaciones Lineales que no me sale (no se que estoy haciendo mal). El ejercicio dice asi:

7. Determine una aplicacion lineal T: P2 --> R(2x2) tal que:

\[T(x + 1)=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0& 0\end{pmatrix}\]

\[T(x^{2} + 2x)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& 1\end{pmatrix}\]

\[T(-x^{2} -1)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1& 0\end{pmatrix}\]

Lo que hice fue calcular los coeficientes de la siguiente forma:

\[(x,y,z)=\alpha (0,1,1)+\beta (1,2,0)+\gamma (-1,0,-1)\]

Donde x, y, z son los equivalentes de los coeficientes que acompañan a x^2, x y el termino independiente respectivamente. Una vez calculados los 3 coeficientes, forme la transformacion lineal de la siguiente forma:

\[T(P_{2})=\alpha \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0& 0\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& 1\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix}0 & 0\\ 1& 0\end{pmatrix}\]

Me termino dando como resultado final:

\[T(P_{2})=\begin{pmatrix}\frac{x+y-z}{3} &\frac{-2x+y-2z}{3} \\ \frac{-2x+y-2z}{3} & \frac{x+y-z}{3} \end{pmatrix}\]

Aunque ese no es el resultado final correcto. Que estoy haciendo mal?

Un saludo y muchas gracias.

Edito: Quedo todo muy mal. Al no poder corregirlo, analicenlo sin esos <Br> que molestan mucho.

El procedimiento esta bien, si no es ese el resultado, lo mas probable es que haya un error de cuentas cuando determinaste los \[\alpha,\beta,\gamma\]

Arreglado el foro para que ya no joda con los <br/> en el latex