tema : transformacion lineal
materia : algebra y geo analitica
EJERCICIO DEL FINAL del 6 de marzo de 2008

Sea T : R3  R3 tal que T(1.0.1) = (0.0.0) ; T (2.0.0)= (0.0.0) ; T( 0.1.0 ) = (-3,2,4)
a) justifique si T es una transformación lineal , enunciando las definiciones y / o teoremas con que fundamenta su respuesta ( sin hallar la expresión analítica de t)

b) SI t e una tl , obtenga su expresión analítica y una base y una dimensión de su núcleo e imagen .

El teorema de existencia y unicidad de las TL dice que si tenemos los transformandos de una base, la TL existe y es unica.
La hipotesis del teorema es que: Sean V y W dos espacios de dimension finita,
Sea B={v1;v2;..;vn} una base de V y sea A={w1;w2;..;wn} un conjunto de vectores de W
Entonces existe una unica TL T:V-->W / T(vi)=wi para todo i=1,2,..,n. (despues hay que demostrarlo)
a)
En tu ejercicio basta con verificar que { (1,0,1);(2,0,0);(0,1,0) } sea una base de R3, para eso los encolumnas y sacas el determinante, si este es distinto de 0 entonces es una base.


b)
Para la expresion analitica, agarras un vector generico de V, u=(x;y;z) y expresarlo como combinacion lineal de la base que tenes: u=(x;y;z)=alfa.(101) + beta.(200) + gamma.(010)
Armas una matriz, para saber cuales son alfa, beta y gamma: (gausseando... porque gauss es Dios )
1 2 0 | x
0 0 1 | y
1 0 0 | z

y llegas a: alfa = z beta = (x - z)/2 gamma = y

entonces:
reemplazas: u = z.(1,0,1) + [(x-z)/2].(2,0,0) + y.(0,1,0)
aplicas T: T(u) = z.T(1,0,1) + [(x-z)/2].T(2,0,0) + y.T(0,1,0)
o sea...: T(u) = z.(0,0,0) + [(x-z)/2].(0,0,0) + y.(-3,2,4)
Ahora, armas la expresion: T(u) = (-3y ; 2y ; 4y)

Nucleo: agarras las componentes de la expresion y los igualas a 0
(porque el nucleo son todos los vectores que tienen como imagen el vector nulo de W)
-3y=0
2y=0
4y=0
por lo tanto y=0 --> el nucleo son todos los vectores (x ; 0 ; z) --> una base del nucleo es {(1,0,0);(0,0,1)} y la dimension es 2

Imagen: tenes que hacer lo mismo, pero igualas a (a,b,c) en lugar de (0,0,0) y despues buscas una base de la imagen, que si o si debe tener dimension 1, porque la suma de las dimensiones del nucleo y la imagen es igual a la dimension del espacio V.

Espero que os haya iluminado...
(y espero que este bien lo que te dije )

Muchas gracias por la resolución

Otra opcion que tenes para encontrar la TL es tomar bases canonicas en el V y W entonces

\[\\T(2,0,0)=2T(1,0,0)=(0,0,0)\to \boxed{T(1,0,0)=(0,0,0)}\]

\[\boxed{T(0,1,0)=(-3,2,4)}\]

\[\\T(1,0,1)=T[(1,0,0)+(0,0,1)]=\underbrace{T(1,0,0)}_{=0}+T(0,0,1)\to\]

\[\boxed{T(0,0,1)=(0,0,0)}\]

la expresion analitica

\[T(x,y,z)=xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)\]

de donde

\[T(x,y,z)=(-3y,2y,4y)\]