Buenas tardes a todos, tengo un problema con este ejercicio:

3) Sea \[f(x,y)= \frac{x^2}{y}\] si \[(x,y) \neq 0\] y \[f(x,0)=0\] . Demuestre que f es derivable en toda direccion en (0,0)pero no es diferenciable en dicho punto


Para empezar, para demostrar que la funcion es derivable en toda direccion hice lo siguiente:

\[\lim_{h\to 0}\frac{f[(0,0)+h(u_1,u_2)]-f(0,0))}{h}\]

Despejando esto, me queda:

\[\lim_{h\to 0}\frac{u_1 ^2}{u_2}\]

Por lo que concluyo que la funcion es derivable en toda direccion siempre y cuando \[u_2 \neq 0\]



Ahora, para el tema de la diferenciabilidad no estoy recordando como hacer para determinarla. ¿Me pueden ayudar?

Hola Taylor!.

Ojo ahí, a vos te queda en un momento:

\[f`(Xo, u) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(ha, hb)}{h}\]

Off-topic:

Como odio los subindices, uso a y b para las componentes del versor

Ahora fijate que tenes una función partida, la cual es:

\[f(x,y) = \frac{x^2}{y}\]

Si \[(x,y) \neq (x,0)\]

Y ademas te dice que:

\[f(x,0) = 0\]

Entonces vos tenes que analizar el limite ese que te queda aproximandonte por esas dos ramas de la función. Si lo haces, va a quedarte que la derivada va a ser:

\[\frac{a^2}{b}\] si \[b\neq 0\]

y

\[0\] si \[b = 0\]

Off-topic:

Fijate si podes hacerlo, y sino, lo resolvemos por aca

Ahora en cuanto a tu duda, la forma mas directa de probar que una función no es diferenciable es mostrar que no es continua en el punto que te dan.

Analizamos continuidad

1) \[\exists f(0,0) = 0\]

Esto lo sacamos por enunciado.

2) Ahora tenemos que evaluar el limite.

\[\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x^2}{y}\]

Recurrimos a los limites radiales. Vamos a usar la familia de curvas:

\[y = mx^2\]

Reemplazando

\[lr: \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{mx^2} = \frac{1}{m}\]

Como los limites radiales existen, pero son distintos (dependen del valor de m), por el principio de unicidad del limite podemos decir que el limite no existe.

Como la segunda condicion de continudad no se da...la funcion no es continua en el origen...Entonces no es diferenciable en el origen.

Sos un crack!
Muchas gracias!