Hola estoy haciendo los ejercicios del Tp 9 de integrales multiples y cuando llego eal 10 de integrales triples se me hace imposible definir los recintos, en particular en el A y C, no se si alguien me puede tirar una mano con esos dos, gracias!

si subis los enunciado con gusto..... alguno aca no tenemos la guia de am2

jaj disculpa....

Calcular el volumen de H con integrales triples, usando el sistema de coordenadas mas conveniente

A) H definido por 2y>=x´2 + z, x + y<= 4 , 1° octante

C) H definido por x¨2 + z¨2 <= 2ax, interior a la esfera de radio 2a con centro en el origen de coordenadas

(08-10-2012 15:21)SaintAgust escribió:  jaj disculpa....

Calcular el volumen de H con integrales triples, usando el sistema de coordenadas mas conveniente

A) H definido por 2y>=x´2 + z, x + y<= 4 , 1° octante

supongo que esta elevado al cuadrado jee de los superficies dadas, definimos

\[y\geq \frac{x^2+z}{2}\quad y\leq 4-x\to \boxed{\frac{x^2+z}{2}\leq y\leq 4-x}\]

por transtividad

\[\frac{x^2+z}{2} \leq 4-x\to \boxed{0\leq z\leq 8-2x-x^2}\]

por transitividad

\[0\leq 8-2x-x^2\to \boxed{0\leq x\leq 2}\]

la integral es

\[V=\int_{0}^{2}\int_{0}^{8-2x-x^2}\int_{\frac{x^2+z}{2}}^{4-x}dydzdx=\frac{68}{5}\]

Cita:C) H definido por x¨2 + z¨2 <= 2ax, interior a la esfera de radio 2a con centro en el origen de coordenadas

la ecuacion de la esfera es \[x^2+y^2+z^2\leq 4a^2\]

aplicando polares sobre xz dejando

\[r^2\leq 2ar\cos\theta\]

de donde deducis

\[0\leq r\leq 2a\cos\theta\]

por transitividad

\[0\leq 2a\cos\theta \to -\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\]

aplicando las polares en la esfera

\[-\sqrt{4a^2-r^2}\leq z\leq \sqrt{4a^2-r^2}\]

para ahorrar cuentas multiplicamos a la integral por 4 entonces tenes para evaluar

\[4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2a\cos\theta}\int_{0}^{\sqrt{4a^2-r^2}}rdzdrd\theta=....\]

te dejo las cuentas , cualquier duda pregunta

genial gracias

Off-topic:

no se olviden de ponerlo en el índice!!!
http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-ana...de-la-guia

Ya que es el mismo ejercicio quería saber si me pueden ayudar.
Es el punto g) del ejercicio.

Calcular el volumen de H con integrales triples, usando el sistema de coordenadas mas conveniente

H definido por
\[y \geq x^{2}, x^{2} + y^{2} \leq 2, z \geq 0, z\leq x \]

Jugando un poco con los datos del enunciado llegué a los siguientes límites de integración:
\[0 \leq z \leq x, 0 \leq r \leq \sqrt{2}, -\frac{\pi }{2} \leq \Theta \leq \frac{\pi }{2}\]

Creo que le pifié un poco a el intervalo de \[\Theta\], lo hice despejando de
\[0 \leq z \leq x \Rightarrow 0 \leq r cos(\Theta ) \Rightarrow -\frac{\pi }{2} \leq \Theta \leq \frac{\pi }{2}\]

espero que alguien me de una mano, gracias.

Dejalo en cartesianas ... el volumen esta definido por (lo hago por una integral doble)

\[V=\iint_{P_{xy}} \left ( \int_{0}^{x}dz \right )dydx=\iint_{P_{xy}} xdydx\]

el recinto sobre el plano xy es



luego

\[V=\iint_{P_{xy}} xdydx=2\left ( \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}}xdydx\right )=\frac{1}{6}(8\sqrt{2}-7)\]

(22-06-2013 18:07)Saga escribió:  \[V=\iint_{P_{xy}} xdydx=2\left ( \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}}xdydx\right )=\frac{1}{6}(8\sqrt{2}-7)\]

En la guía da \[\frac{2}{3} \sqrt{2} - \frac{7}{12}\]

No parece ser lo mismo

Debe tener un error la guia, o te falto alguna restricción en el enunciado, como ser EN EL PRIMER OCTANTE si haces eso tenes que

\[\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}} xdydx=\frac{1}{12}(8\sqrt{2}-7)=\frac{2}{3}\sqrt{2}-\frac{7}{12}\]

así que vos diras, ya que no tengo la guía de am2

Hola!, una pregunta, en este ejercicio de donde salio el limite de integracion entre 0 y 1 para x?

Gracias!

(19-02-2015 03:07)javierw81 escribió:  Hola!, una pregunta, en este ejercicio de donde salio el limite de integracion entre 0 y 1 para x?

Gracias!

observa que

\[x^2\leq y\leq \sqrt{2-x^2}\]

por transitividad

\[x^2\leq \sqrt{2-x^2}\]

de donde

\[x^4\leq 2-x^2\]

pasando todo a un lado de la desigualdad

\[x^4+x^2-2\leq 0\]

factorizando

\[(x^2-1)(x+2)^2\leq 0\]

para que se cumpla la desigualdad necesariamente

\[(x^2-1)\leq 0\]

finalmente

\[|x|\leq 1\]

(08-10-2012 17:00)Saga escribió:  

Cita:C) H definido por x¨2 + z¨2 <= 2ax, interior a la esfera de radio 2a con centro en el origen de coordenadas

la ecuacion de la esfera es \[x^2+y^2+z^2\leq 4a^2\]

aplicando polares sobre xz dejando

\[r^2\leq 2ar\cos\theta\]

de donde deducis

\[0\leq r\leq 2a\cos\theta\]

por transitividad

\[0\leq 2a\cos\theta \to -\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\]

aplicando las polares en la esfera

\[-\sqrt{4a^2-r^2}\leq z\leq \sqrt{4a^2-r^2}\]

para ahorrar cuentas multiplicamos a la integral por 4 entonces tenes para evaluar

\[4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2a\cos\theta}\int_{0}^{\sqrt{4a^2-r^2}}rdzdrd\theta=....\]

te dejo las cuentas , cualquier duda pregunta

Saga todo bien? Te hago una consulta.

Por que a la integral del VOLUMEN la multiplicas por 4? muchas gracias.

aa