Hola, hoy les traigo una duda conceptual. Es del teorema de Green. Les pongo el ejercicio 10) ya que es sobre lo que no me queda claro (me dio 4pi y tiene que dar -4pi).
10) Sea \[\tilde{f}\] con \[D\tilde{f}\] continua y simétrica en todo el plano salvo en los puntos A y B. Calcule \[\oint_{C_{3}}^{}\]\[\bar{f}.d\bar{s}\] sabiendo que \[\oint_{C_{1}}^{}\]\[\bar{f}.d\bar{s}\]\[=12\Pi \] y \[\oint_{C_{2}}^{}\]\[\bar{f}.d\bar{s}\]\[=16\Pi \]. Se entiende que cada circulación se realiza con la orientación indicada en la figura, , C3 es la frontera del triángulo.
Hace 40 minutos literal estoy buscando el cable del cel para subir la foto de la figura a internet, y no lo encontré en toda la casa, asi que lo hice en paint. La flecha del triángulo (C3) va a la izquierda, la del elipse de la derecha (C2) va hacia la derecha y la de la elipse de la izquierda (C1) hacia la derecha. (Me olvidé de hacer los puntos en el dibujo, el punto A está en la elipse de la izquierda y en el triángulo (la parte que comparten) y el punto B está en la elipse de la derecha y en el triángulo (también en la única parte que comparten)

Yo lo que hice fue: La circulación total es igual a la circulación en C3 en sentido positivo menos la circulación en C2 en sentido positivo menos la circulación en C1 en sentido positivo. No se si tengo que hacer eso o sumarlas. (sumándolas me daría lo que tiene que dar, pero no termino de entender bien porqué).
Otra cosa de lo mismo. Si yo tengo un cuadrado andentro de un círculo, por decirlo de alguna forma, la circulación va a ser la circulación en sentido positivo del círculo menos la circulación en sentido positivo del cuadrado?
(la figura de la izquierda)
Es la mayor duda que tengo en cuanto a concepto, todo lo demás lo tengo bastante afilado ya.
Gracias y saludos.

Tu razonamiento es correcto, la circulacion sobre la curva 3 esta definida como

\[\oint_{C^+_3}fds=\oint_{C^+_1} fds+\oint_{C^-_2}fds\]

la curva 1 esta recorrica en sentido positivo y la curva 2 en sentido negativo, por ende

\[\oint_{C^+_3}fds=\oint_{C^+_1} fds+\oint_{C^-_2}fds=12\pi-16\pi=-4\pi\]

o sea para determinar el signo de la integral tenes que fijarte en que sentido se recorre la curva, respecto a tu pregunta

Seba_Sl escribió:Si yo tengo un cuadrado andentro de un círculo, por decirlo de alguna forma, la circulación va a ser la circulación en sentido positivo del círculo menos la circulación en sentido positivo del cuadrado?

los signos van a depender de como te orienten la curva, si el circulo, se recorre en sentido positivo y el cuadrado en sentido negativo sumas la circulacion del circulo y le restas la del cuadrado, no

se si se entiende..

Mmm, hay algo que no me cierra del sentido. Hago el ejemplo con el del círculo adentro del cuadrado. La circulación por el círculo va a tener sentido positivo si la recorro de tal manera que lo de adentro del círculo me quede a la izquierda? O va a ser de manera que me quede a la izquierda la región comprendida entre el cuadrado y el círculo?