Hola, recurro nuevamente a ustedes para que me ayuden a resolver algunos ejercicios del tema Flujo. Lo hice a los tres ejercicios pero me dieron resultados distintos a las respuestas.

Los ejercicios los debo hacer por la definición de flujo, no puedo realizar la Conveniente utilización del Teorema de la Divergencia.

Ejercicio 10. Calcule el flujo de \[\overline{f}\] a través de S, indicando gráficamente la orientación del versor normal que ha elegido, o bien que se le solicite en cada caso.

a)\[\overline{f}(x,y,z)=(x^{2}+yz,xz,2z^{2}-2xz)\] a través de la superficie frontera del cuerpo definido por \[1\leq z\leq 5-x^{2}-y^{2}\].

b)\[\overline{f}(x,y,z) = (x,y,z)\] a través de la superficie esférica de ecuación \[x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\].

e)\[\overline{f}(x,y,z)=(xy,z,y)\] a través de la superficie frontera del cuerpo limitado por \[x^{2}+y^{2}\leq 4\wedge x+y+z\leq 18\]

a)

\[Flujo = \iint_{S}^{.}f.n.dS\]

\[n=\frac{\bigtriangledown S}{\left \| \bigtriangledown S \right \|}\]

\[dS=\frac{\left \| \bigtriangledown S \right \|}{\left | S_{z}' \right |}dxdy\]

\[Flujo = \iint_{S}^{.}(x^{2}+yz,xz,2z^{2}-2xz).\frac{(2x,2y,1)}{1}dxdy\]

Reemplazo z por (5-x^2-y^2)

Alto lio de cuentas queda...seguro que no se podia hacer por divergencia?

Pero bueno, ahi habria que resolver las cuentas,
luego integrar sobre el paraboloide proyectado sobre el plano xy (coordenadas polares, ya que sería un círculo) y listo...
Así los estas encarando, no?

Agradezco la ayuda, y si es un lío de cuentas. Afortunadamente gracias a tu respuesta me aseguro que no estoy equivocado al plantearlo, seguramente me haya equivocado en alguna de las tantas cuentas que hay que hacer.
El ejercicio se debe plantear por definición porque está en la unidad de Flujo, la siguiente unidad corresponde al Teorema de Gauss.

Nuevamente, te agradezco la ayuda. Me fue de gran utilidad.

De nada! Vamos con el 2, que ese pareciera no tener tanto quilombo de cuentas...

b)

\[Flujo = \iint_{S}^{.}f.n.dS\]

\[n=\frac{\bigtriangledown S}{\left \| \bigtriangledown S \right \|}\]

\[dS=\frac{\left \| \bigtriangledown S \right \|}{\left | S_{z}' \right |}dxdy\]

\[Flujo = \iint_{S}^{.}(x,y,z).\frac{(2x,2y,2z)}{\left | 2z \right |}dxdy\]

\[Flujo = \iint_{S}^{.}(x,y,z).\frac{(x,y,z)}{\left |z \right |}dxdy\]

\[Flujo = \iint_{S}^{.}\frac{x^{2}+y^{2}+4-x^{2}-y^{2}}{\left | \sqrt{4-x^{2}-y^{2}} \right |}dxdy\]

\[Flujo = 4\iint_{S}^{.}\frac{1}{\left | \sqrt{4-x^{2}-y^{2}} \right |}dxdy\]

Proyectado en el plano xy, queda un circulo.

Con coordenadas polares:

\[Flujo = 4\int_{0}^{2\pi }d\theta \int_{0}^{2}\rho .\frac{1}{\left | \sqrt{4-\rho ^{2}} \right |}d\rho\]

Y aca tengo una duda, porque si saco el módulo estoy tomando solo la parte de arriba de la esfera, no?

Saga, guíanos

si no podes usar divergencia tenes que calcular el flujo por cada una de las superficies,
a) tenes dos superficies

\[S1\left\{\begin{matrix}z=1 \\z\leq 5-x^2-y^2\end{matrix}\right.\]

\[S2\left\{\begin{matrix}z= 5-x^2-y^2\\ z\geq 1\end{matrix}\right.\]

Hay que hacer las cuentas unicamente, no se como te lo enseñaron, si parametrizando o proyectando

---

b) basta tener en cuenta que en una esfera, cualquier punto de esta dividod a su radio nos da su versor normal o sea que da

\[\iint_D (x,y,z)\left(\frac{x,y,z}{2}\right)d\sigma\]

de donde haciendo las cuentas te queda

\[\iint _D 2 d\sigma\]

para obtener los limites, parametriza la esfera dada

---

c) es idem al primero, definí dos superficies y calcula el flujo a travez de cada una de ellas

Les molestaría hacer el a)? (plantear la integral, no resolverla), porque la verdad que me queda cualquier cosa que no puedo resolver ni cambiando a polares ni nada. Lo hice proyectando las 2 superficies sobre el plano xy, asi que si lo hacen así se los agradecería más.

(16-11-2012 01:32)Seba_SL escribió:  Les molestaría hacer el a)? (plantear la integral, no resolverla), porque la verdad que me queda cualquier cosa que no puedo resolver ni cambiando a polares ni nada. Lo hice proyectando las 2 superficies sobre el plano xy, asi que si lo hacen así se los agradecería más.

Como dije mas arriba

(30-07-2012 18:52)Saga escribió:  si no podes usar divergencia tenes que calcular el flujo por cada una de las superficies,
a) tenes dos superficies

\[S1\left\{\begin{matrix}z=1 \\z\leq 5-x^2-y^2\end{matrix}\right.\]

\[S2\left\{\begin{matrix}z= 5-x^2-y^2\\ z\geq 1\end{matrix}\right.\]

Vamos a verificar el teorema de la divergencia, asi tenes las dos formas de resolución

\[\varphi=\iint_S f ndS=\iiint_V div f dV\]

como tenemos dos superficies, para verificar el teorema, se tiene que cumplir

\[\iint_{S_1} f ndS_1+\iint_{S_2} f ndS_2=\iiint_V div f dV\]

Parametrizando la primera superficie como

\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=(x,y,1)\]

su vector elemental sera

\[n=g'_x\times g'_y=(0,0,1)\]

por regla de la mano derecha, y ademas porque vamos a verificar el teorema de la divergencia

\[n=g'_x\times g'_y=(0,0,-1)\]

entonces tenes que resolver

\[\iint_{S_1}f(g(x,y))ndS_1=-\iint_{S_1}2-2xdS_1\]

los limites de integracion los obtenes de

\[z\leq 5-x^2-y^2\]

z=1, entonces tomando polares la integral queda

\[-\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(2-2r\cos\theta)rdrd\theta=-8\pi\]

para S2 procedemos de manera analoga solo que la parametrizacion sera

\[g:R^2\to R^3/h(x,y)=(x,y,5-x^2-y^2)\]

el vector normal es \[n=(2x,2y,1)\]

la integral

\[\iint (x^2+yz,xz,2z^2-2xz)\cdot (2x,2y,1)dxdy\]

reemplazando la z por y haciendo las cuentas tenes

\[\iint 2x^3+4xyz+2z^2-2xzdxdy\]

no te olvides reemplazar z por

\[z=5-x^2-y^2\]

tomando polares sobre el recinto

\[5-x^2-y^2\geq 1\]

conviene que aplicar la linealidad de la suma, para resolver la integral, hechas las cuentas tenes que

\[\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} f(h(r,\theta))rdrd\theta=\frac{248}{3}\pi\]

entonces

\[\iint_{S_1} f ndS_1+\iint_{S_2} f ndS_2=-8\pi+\frac{248}{3}\pi=\frac{224}{3}\pi\]

por divergencia

\[div f=4z\]

aplicando cilindricas nos queda

\[\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{1}^{5-r^2}4z rdzdrd\theta=\frac{224}{3}\pi\]

por lo tanto se verifica el teorema de la divergencia.

Raro que un ejercicio como este no se los permitan sacar directamente usando divergencia.... en fin, son solo cuentas

Muchas gracias Saga. Efectivamente había llegado a esa integral enorme y cuando lo vi me resigné completamente, jaja.

Seba_SL escribió:Lo hice proyectando las 2 superficies sobre el plano xy, asi que si lo hacen así se los agradecería más.

no habia leido esa parte, disculpa, con proyecciones es lo mismo

S1 es la intereseccion con el plano z=1

S2 la proyeccion es sobre el plano z=1

las cuentas, para este ejercicio en particular seran las mismas

Hola, alguien me podria ayudar con el ejercicio e) que esta planteado al principio de este tema? quiero plantearlo por divergencia pero no me da 46-pi como dice la guia.

Muchas gracias!

Consideraste el primer octante , que le falta eso al enunciado

Hola compañeros! cómo están?

Respecto del ejercicio e) intenté plantearlo directamente aplicando el Teorema de la Divergencia con la siguiente integral:

\[x + y + z = 18\]
\[x^{2} + y^{2} = 4\]

\[\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{18-\rho cos\theta -\rho sen \theta} y d\rho d\theta dz\]

Pero al resolver la integral, no me da el mismo resultado de la guía? Planteando la integral de esta manera no estoy considerando el primer octante? Está mal planteada la integral? No puedo ver el error que estoy cometiendo ...

Y respecto a plantearlo sin la aplicación del Teorema ... habría que calcular el flujo de cada superficie? Es decir, de la porción de cilindro, de la porción del plano, y de los 3 planos coordenados que encierran al cuerpo?

Muchas gracias!!!!

(04-07-2016 09:49)bareel escribió:  Hola compañeros! cómo están?

Respecto del ejercicio e) intenté plantearlo directamente aplicando el Teorema de la Divergencia con la siguiente integral:

\[x + y + z = 18\]
\[x^{2} + y^{2} = 4\]

\[\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{18-\rho cos\theta -\rho sen \theta} y d\rho d\theta dz\]

Pero al resolver la integral, no me da el mismo resultado de la guía? Planteando la integral de esta manera no estoy considerando el primer octante? Está mal planteada la integral? No puedo ver el error que estoy cometiendo ...

Y respecto a plantearlo sin la aplicación del Teorema ... habría que calcular el flujo de cada superficie? Es decir, de la porción de cilindro, de la porción del plano, y de los 3 planos coordenados que encierran al cuerpo?

Muchas gracias!!!!

Como andas? Mirá recien lo resolvi utilizando teorema de la divergencia y me dio igual que la guia. Me parece que lo que te olvidaste vos es el r del jacobiano dentro de la integral, a mi la integral me quedó asi:
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}\int_{0}^{18-r.(cos\theta + sen \theta)} rsen \theta . r dzdrd\theta\]


tené en cuenta que si usas cambio de coordenadas, la y la vas a tener que cambiar también, en este caso
\[ y= r.sen \theta \]

Resolviendo la integral de mas arriba (integrales feas si las hay), me dió
\[\varphi = 46 - \pi\]

Fijate si con eso que te dije te ayuda a resolver lo que habias empezado vos.

Speedy10,

Al final había puesto el p del jacobiano, pero me falto reemplazar 'y' por p.sen (tita). Siempre me olvido de algo, o armo mal los límites de integración, o me falta algo en la integral

Y respecto a plantearlo sin la aplicación del Teorema ... habría que calcular el flujo de cada superficie? Es decir, de la porción de cilindro, de la porción del plano, y de los 3 planos coordenados que encierran al cuerpo?


Muchas gracias por tu ayuda!!!!