Hola chicos , estoy estudiando para el jueves que rindo! y me trabe con este ejercicio , necesito ayuda gracias!

Sean en V= R 3 los espacios vectoriales S y T ,determine una base y la dimensión de S+T :
siendo S={( x1, x2, x3) e R3 / x1-x2-3x3= 0}
T={(x1, x2, x3) e R3 / x1+x2-x3=0 ; x1-x2=0


gracias!

Mira...

Primero que nada analiza uno por uno.. por ejemplo s.

Primero busco un generico.
x1-x2-3x3 por ejemplo si x1 = 3x3+x2 entonces:

(3x3+x2, x2, -3x3) Ahora voy a separarlo y buscar el generador de s.

s = {x3*(3,0,-3)+x2*(1,1,0)}
Busco la base:

Bs = {(3,0,-3)(1,1,0)}

Bueno ahi tenes s!

Hago t ahora.

T={(x1, x2, x3) e R3 / x1+x2-x3=0 ; x1-x2=0

x1+x2x3 = 0
x1-x2 = 0

despejo y busco de nuevo mi generico respetando las dos ecuaciones...
x1 = x2

de la primera(x1+x2-x3):

x1+x2-x3=0
-x3=-x1-x2 (multiplico todo x -1)
x3 = x1 + x2
Entonces el genérico te quedaria algo asi:

(x1,x1,x1+x2)
gen t={(x1(1,1,1)+x2(0,0,1)}
Bt={(1,1,1)(1,1,0)}

Ahora la suma es la union de las bases de S y T

la suma es la suma de las bases.

B+T = {(1,1,1)(1,1,0)(3,0,-3)(1,1,0)}
Ahora hay dos vectores que son iguales entonces no aporta información lo vuelo.

B+T = {(1,1,1)(3,0,-3)(1,1,0)}

Ahora ahí esta, pero queres saber si te dio mas o menos bien?

Dimensión de la suma (espacio vectorial) = dimensión de T + dimensión de S.

R^3 = 2 + 2 - 1(vector que saque porque no aporta información) = 3!

Si queres saber si es suma directa lo que tenes que hacer es:

Intersectar todas tus ecuaciones:

x1-x2-3x3= 0
x1+x2-x3=0
x1-x2=0

Resolves el sistema y si x1,x2 y x3 te dan 0 entonces es suma directa de lo contrario no es suma directa!
Espero no haberme equivocado y que te sirva!!!

(10-07-2011 14:03)Feer escribió:  Primero busco un generico.
x1-x2-3x3 por ejemplo si x1 = 3x3+x2 entonces:

(3x3+x2, x2, -3x3)

pero en ese caso no quedaria :(3x3+x2, x2, x3)
????????????

sí, flasheó fer ahí

(10-07-2011 14:03)Feer escribió:  T={(x1, x2, x3) e R3 / x1+x2-x3=0 ; x1-x2=0

x1+x2x3 = 0
x1-x2 = 0

despejo y busco de nuevo mi generico respetando las dos ecuaciones...
x1 = x2

de la primera(x1+x2-x3):

x1+x2-x3=0
-x3=-x1-x2 (multiplico todo x -1)
x3 = x1 + x2
Entonces el genérico te quedaria algo asi:
(x1,x1,x1+x2)

Si de la segunda x1= x2 , ¿se puede dejar de la primera que x3= (x2)+ x2 -> x3= 2x2 ????????????????

Entonces el generico seria (x2, x2 , 2x2)
luego la Dim S=1 ??????????

Che la primera flashie JAJAJA...
La segunda... creo que se puede(mm)
Por ahi es por eso que me quedo que una tiene la misma información que otra en las bases...
Disculpa por la equivacacion, a ver si pasa alguien y deja contestada esa ultima duda

La de S estaba bien

ok gracias!

Bueno, sacás las bases de los dos subespacios, viste:

como X1 = X2 y X3 = X1 + X2 entonces, X3 = 2X1

De T sacás que:
(poniendo todo en función de X1)

X1..................1
X1 = 1
2X1.................2

Base de T dimension 1

Ahora le toca a S

X1 = X2 + 3X3

X2 + 3X3.............1............3
X2 =.....1......+....0
X3..................0............1

Dimensión 2 de base de S

Bueno, ya, se sobreentiende que saco factor común y que blah blah blah..(además feer ya te lo explico)

Conclusión

Para hacer la suma, sumas los generadores a los que llegaste

X1 + X2 + 3X3
X1 + X2
2X1 + X3

Entonces te queda

1........1........3
1........1........0
2........0........1

OH MIRÁ QUE COSA! Resultó ser las bases de los respectivos subespacios.

Ni te gaste en hacer la intersección, la suma es directa, por que?
Porque si haces la suma de la dimension de un subespacio, mas la del otro menos la de la intersección te tiene que dar la dimension del conjunto de partida

Entonces:

Dim s + Dim t - Dim (s intersecc t) = 3
..2....+...1.....-......0...................= 3

La intersección te da el vector nulo, quiere decir que la suma es directa.

Y con eso, me retiro a comer

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Uh, me quedó todo deforme xD Bueno, después te lo escaneo

graciass!!!! geniaa!