Perdón por molestar pero ahora me podrían ayudar con subespacio que maso menos lo entiendo lo hize pero no estoy seguro si esta bien =/

Subi lo que hiciste asi lo revisamos entre todos

Ahi llega saga salvando el dia.

Respecto del punto 4, para que sea suma directa, la interseccion de subespacios te tiene que dar el conjunto vacio.
Es decir, en formalismo matematico:

\[S \bigoplus T \Leftrightarrow S\cap T = \oslash \]

Bueno en el primero de subespacios me K=1
en el punto b del primero no lo entiendo porque el si ortogonal se iguala a 0 pero la h me danria 0

en el segundo me da en r4 y no tendría que darme en r3 así podría calcular el valor de K

Espero que se entienda la imagen

3a) esta bien

3b) reemplazando el valor de k que te dan, tenes que una base de S es

\[B_S=\left \{ (1,2,0,1)(1,-1,1,0)\right \}\]

para hallar la el complemento ortogonal basta tomar un generico (a,b,c,d) que este en ese complemento ortogonal, y por ser ortogonal se cumple

\[(a,b,c,d)(1,2,0,1)=0\quad \wedge \quad(a,b,c,d)(1,-1,1,0)=0\]

de donde obtenes las ecuaciones de \[S^{\perp}\]

\[\\a+2b+d=0\\a-b+c=0\]

si el vector

\[w=(h-1,h,h-h-1)\in S^{\perp}\]

entonces verifica las ecuaciones de \[S^{\perp}\] reemplaza las componentes del mismo en las ecuaciones para hallar el valor de h (si es que existe)

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4) una base de S es

\[B_S=\left \{ (1,1,-3)(1,-2,2) \right \}\]

el otro vector es la resta de estos dos, implicitamente T define la ecuacion de una recta cuyo vector director es una base de T

\[B_T=\left \{(k-1,-k,1) \right \}\]

para que la suma sea directa los 3 vectores deben ser LI, podes calcular el determinate para determinar el valor de k que haga que el rango de la matriz asociada sea 3

a buenisimo gracias por la ayuda =)