Subo el recu del primer parcial de este cuatrimestre de quiroga. Tiene un ejemplo.

  FDP_EJ_Variables_Aleatorias.pdf (Tamaño: 501,53 KB / Descargas: 1293)

Ahí comparto la resolución de las distintas FDPs que suelen tomar en parciales y/o finales.
Saludos!!

HOla, una pregunta. Siempre que tenes una funcion de densidad definida a trozos usas el metodo del rechazo? Por qué?

Como estas? No siempre tenes que usar el método del rechazo... depende mucho de la función (en este ejemplo, la función tiene asintota, por ende no la podes "encerrar" como dice la definición del método) ej IX de la guía que esta aca.

Abz

Buenas!!! Algún alma bondadosa me podría explicar como debería resolver esta FDP: f(5)=2f(9)
Esta en el ejercicio de la maquina expendedora de café de los ejercicios resueltos del dpf de delta t constante.

Seguro es muy tonta de resolver pero cuando la curse me quede con la duda y ahora que tengo que rendir el final me preocupa.

Gracias!

Si \[f(5) = 2 * f(9)\] entonces:

1) La fdp está definida entre 5 y 9

2) La fdp es una recta \[f(x) = ax + b\]

3) Usamos la ecuación de la recta y reemplazamos los valores de x:

\[f(5) = 2 * f(9)\]
\[a * 5 + b = 2 * (a * 9 + b)\]
\[5a + b = 18a + 2b\]
\[-13a = b\]

4) También sabemos que F(x) es la función primitiva (integral indefinida) de f(x), y representa la función de distribución acumulada.

5) Entonces, el área encerrada por la función es igual a 1. Usamos la integral definida de la fdp en ese intervalo:

\[1 = \int_{5}^{9} f(x) dx = \int_{5}^{9} (ax - 13a) dx = a * \int_{5}^{9} x - 13 dx = -24 * a = 1\]
\[a = \frac{-1}{24}\]

6) La probabilidad acumulada en el inicio del intervalo es 0, y al final, es 1. Entonces:

\[F(x) = \frac{-1}{24} [\frac{1}{2} * x^2 - 13x] + k\] (k constante de integración)

\[F(5) = 0 = -\frac{-1}{48} * 25 + \frac{-13}{24} * 5 + k = 0\]

Entonces \[k=\frac{-35}{16}\]

Comprobamos que:

\[F(9) = 1 = - \frac{81}{48} + \frac{117}{24} - \frac{-35}{16} = 1\]

7) Por (5) sabemos que la f(x) tiene forma de (x-13), entonces intentamos completar cuadrados con esa forma (en los finales suele quedar más evidente y fácil de completar los cuadrados). Nos queda:

\[F(x) = \frac{1}{6} * (x-13)^2 - \frac{32}{3}\]

8) Finalmente, si

\[F(x) = R\]
\[F^-1( R ) = x\]

Entonces:

\[R = \frac{1}{6} * (x-13)^2 - \frac{32}{3}\]
\[[R + \frac{32}{3}] * 6 = (x-13)^2\]
\[6R + 64 = (x-13)^2\] con x entre 5 y 9
\[\sqrt{(6R + 64)} = - x + 13\]
\[- \sqrt{(6R + 64)} + 13 = x \]

9) Con \[x = -\sqrt{(6R + 64)} + 13\] podés armar el diagrama de flujo de la rutina de la fdp.

Muchas gracias yakultmon!!, lo del paso 7 de completar así cuadrados no se me había ocurrido entonces hice un intento de método de rechazo.

Mil gracias!

(19-02-2018 14:25)drechu escribió:  Muchas gracias yakultmon!!, lo del paso 7 de completar así cuadrados no se me había ocurrido entonces hice un intento de método de rechazo.

Mil gracias!

De nada! Éxitos en el final.

(18-02-2018 15:57)yakultmon escribió:  Si \[f(5) = 2 * f(9)\] entonces:

1) La fdp está definida entre 5 y 9

2) La fdp es una recta \[f(x) = ax + b\]

3) Usamos la ecuación de la recta y reemplazamos los valores de x:

\[f(5) = 2 * f(9)\]
\[a * 5 + b = 2 * (a * 9 + b)\]
\[5a + b = 18a + 2b\]
\[-13a = b\]

4) También sabemos que F(x) es la función primitiva (integral indefinida) de f(x), y representa la función de distribución acumulada.

5) Entonces, el área encerrada por la función es igual a 1. Usamos la integral definida de la fdp en ese intervalo:

\[1 = \int_{5}^{9} f(x) dx = \int_{5}^{9} (ax - 13a) dx = a * \int_{5}^{9} x - 13 dx = -24 * a = 1\]
\[a = \frac{-1}{24}\]

6) La probabilidad acumulada en el inicio del intervalo es 0, y al final, es 1. Entonces:

\[F(x) = \frac{-1}{24} [\frac{1}{2} * x^2 - 13x] + k\] (k constante de integración)

\[F(5) = 0 = -\frac{-1}{48} * 25 + \frac{-13}{24} * 5 + k = 0\]

Entonces \[k=\frac{-35}{16}\]

Comprobamos que:

\[F(9) = 1 = - \frac{81}{48} + \frac{117}{24} - \frac{-35}{16} = 1\]

7) Por (5) sabemos que la f(x) tiene forma de (x-13), entonces intentamos completar cuadrados con esa forma (en los finales suele quedar más evidente y fácil de completar los cuadrados). Nos queda:

\[F(x) = \frac{1}{6} * (x-13)^2 - \frac{32}{3}\]

8) Finalmente, si

\[F(x) = R\]
\[F^-1( R ) = x\]

Entonces:

\[R = \frac{1}{6} * (x-13)^2 - \frac{32}{3}\]
\[[R + \frac{32}{3}] * 6 = (x-13)^2\]
\[6R + 64 = (x-13)^2\] con x entre 5 y 9
\[\sqrt{(6R + 64)} = - x + 13\]
\[- \sqrt{(6R + 64)} + 13 = x \]

9) Con \[x = -\sqrt{(6R + 64)} + 13\] podés armar el diagrama de flujo de la rutina de la fdp.

Hola,

Puede ser que en el punto 7) de esta resolución esté armada mal la ecuación? A mi me queda:

\[x = -\sqrt{(64 - 48R)} + 13\]

Si reemplazo R entre 0 y 1 me dan los valores entre 5 y 9

(17-02-2019 02:22)matias0446 escribió:  Hola,

Puede ser que en el punto 7) de esta resolución esté armada mal la ecuación? A mi me queda:

\[x = -\sqrt{(64 - 48R)} + 13\]

Si reemplazo R entre 0 y 1 me dan los valores entre 5 y 9

Puede ser; no recuerdo como lo hice ¿Como hiciste para completar cuadrados?

(18-02-2019 10:28)yakultmon escribió:  

(17-02-2019 02:22)matias0446 escribió:  Hola,

Puede ser que en el punto 7) de esta resolución esté armada mal la ecuación? A mi me queda:

\[x = -\sqrt{(64 - 48R)} + 13\]

Si reemplazo R entre 0 y 1 me dan los valores entre 5 y 9

Puede ser; no recuerdo como lo hice ¿Como hiciste para completar cuadrados?

Lo hice así:

\[(- \frac{1}{24})(\frac{x^2}{2}-13 x)- \frac{35}{16}=R\]
\[(-\frac{x^2}{48}+\frac{13}{24} x)=R+\frac{35}{16}\]

Multiplico por -48 a ambos términos:

\[x^2-26 x=-48 R-105\]
\[x^2-26 x +(- \frac{26}{2})^2 =-48 R-105+ (- \frac{26}{2})^2 \]
\[x^2-26 x +169=64-48 R \]
\[(x-13)^2=64-48 R \]
\[x-13=- \sqrt{(64-48 R)}\]
\[x=13 - \sqrt{(64-48 R)}\]

(17-02-2019 02:22)matias0446 escribió:  Lo hice así:

\[(- \frac{1}{24})(\frac{x^2}{2}-13 x)- \frac{35}{16}=R\]
\[(-\frac{x^2}{48}+\frac{13}{24} x)=R+\frac{35}{16}\]

Multiplico por -48 a ambos términos:

\[x^2-26 x=-48 R-105\]
\[x^2-26 x +(- \frac{26}{2})^2 =-48 R-105+ (- \frac{26}{2})^2 \]
\[x^2-26 x +169=64-48 R \]
\[(x-13)^2=64-48 R \]
\[x-13=- \sqrt{(64-48 R)}\]
\[x=13 - \sqrt{(64-48 R)}\]

Excelente, tenés razón. Gracias por la corrección.

(18-02-2019 16:17)matias0446 escribió:  

(18-02-2019 10:28)yakultmon escribió:  

(17-02-2019 02:22)matias0446 escribió:  Hola,

Puede ser que en el punto 7) de esta resolución esté armada mal la ecuación? A mi me queda:

\[x = -\sqrt{(64 - 48R)} + 13\]

Si reemplazo R entre 0 y 1 me dan los valores entre 5 y 9

Puede ser; no recuerdo como lo hice ¿Como hiciste para completar cuadrados?

Lo hice así:

\[(- \frac{1}{24})(\frac{x^2}{2}-13 x)- \frac{35}{16}=R\]
\[(-\frac{x^2}{48}+\frac{13}{24} x)=R+\frac{35}{16}\]

Multiplico por -48 a ambos términos:

\[x^2-26 x=-48 R-105\]
\[x^2-26 x +(- \frac{26}{2})^2 =-48 R-105+ (- \frac{26}{2})^2 \]
\[x^2-26 x +169=64-48 R \]
\[(x-13)^2=64-48 R \]
\[x-13=- \sqrt{(64-48 R)}\]
\[x=13 - \sqrt{(64-48 R)}\]

Buenas!! Consulto por si alguien sabe... Es una pavada seguramente pero no recuerdo mucho de funciones. En el anteúltimo paso, cuando se elimina el cuadrado, cuál es el criterio para el signo de la raíz? En este caso se tomó negativa. Pensándolo en forma gráfica para mi correspondería tomarla positiva, considerando que la f original era entre 5 y 9.