Buenas, subo el recuperatorio del 2do parcial de amII del curso de verano.

La verdad que fue un parcial bastante facil, tuve errores muy tontos .


Una duda, acerca del primer ejercicio, a ver si alguno me puede ayudar:

Hice esto:

Tomo la curva \[C: y^{2} =x\] y parametrizo:

y=t

=>

\[g(t)=(t^{2},t)\]
\[g'(t)=(2t,1)\]

Luego, calculo:
\[\int_{1}^{2} f(g(t)) \: \cdot \: g'(t) dt\]
\[\int_{1}^{2} (2t^{2}t\: ; \: t^{2}) \: \cdot (2t\: ;1) dt\]

Es correcto esto?

Muchas gracias !

Como llegaste a esa curva?

La deduje por los puntos q me dieron de (1,1) a (4,2).. Pero no se si el razonamiento es correcto

Ta bueno a mi me dijeron, la nota no va a estar hoy, y eso que entregué primero jajaj les tuve que haber llorado un poco así me enteraba.

Sobre el que preguntás, yo lo planteé igual.

Para .py que preguntó como llegás a esa curva

Te dice que es línea de campo, por lo tanto sabes que: \[y' = \frac{Q}{P}\] (si es que no me equivoco)

Resolviendo esa ED te queda \[y^{2} = x + C\]

Con los puntos que te dan, sabes que C = 0 por lo tanto tu curva es \[y^{2} = x\]

PD: que te dio el de volumen para comparar resultados?

Yo no lo habia planteado asi, lo habia hecho con Green y puse mal los limites.. Cuando llegue a casa me di cuenta

Me dio 4 el volumen

Ya que esta lo resolvemos

E1) por definicion de linea de campo

\[\frac{dx}{2xy}=\frac{dy}{x}\to \frac{1}{2}x=\frac{y^2}{2}+k\]

la que pasa por los puntos pedidos es la curva

\[y^2=x\]

si tomo una funcion g de forma vectorial

\[g:R\to R^2 /g(y)=(y^2,y)\quad 1\leq y\leq 2\]

la circulacion sera

\[\omega=\int_{1}^{2} 4y^4+y^2 dy=\frac{407}{15}\]

---

E2 la integral de volumen es

\[V=\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{\sqrt{x}}\int_{0}^{48xy} dzdydx=4\]

---

E3) la curva esta dada por

\[C\left\{\begin{matrix}z=9\\x^2+y^2=9 \end{matrix}\right.\]

el rotor

\[rot f=(0,y-z,y-z)\]

la normal \[(0,0,1)\]

finalmente tomando polares

\[\omega=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} (r\sin\theta-9)r drd\theta=-81\pi\]

---

E4) la solucion del polinomio caracteristico son raices imaginarias entonces

\[y_h=A\cos x+B\sin x\]

para la yp propongo \[y_p=ax+b\]

de donde resolviendo a=0 y b=1 , luego la solucion general es

\[y=A\cos x+B\sin x+1\]

con las condiciones iniciales

\[\\y(0)=2\\ y'(0)=0\]

la curva pedida es

\[y=\cos x+1\]

finalmente la integral de area es

\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\cos x+1} dydx=2\pi\]

Ah genial, a mi también me dio 4. Ese ejercicio, la verdad era que si no sabías lo de línea de campo dificil que lo sacarás, al igual que el de la ecuación diferencial (el último) que tenía raíces complejas. Digamos eran fáciles pero a la vez muy específicos. Yo no tengo la nota pero si querés te digo que hice en los otros ej.

EDIT: no importa ya lo hizo saga ajjaa

(06-03-2014 01:52)Saga escribió:  E3) la curva esta dada por

\[C\left\{\begin{matrix}z=9\\x^2+y^2=9 \end{matrix}\right.\]

el rotor

\[rot f=(0,y-z,y-z)\]

la normal \[(0,0,1)\]

finalmente tomando polares

\[\omega=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} (r\sin\theta-9)r drd\theta=-81\pi\]

---

Saga, por que la normal es (0,0,1) y no el gradiente de la superficie? Es decir:
\[S(x,y,z)= x^{2} + y^{2} -z\]
\[\triangledown S=(2x,2y,-1)\]

Entonces:

\[\int_{D} \int(0,y-z,y-z) \: \cdot \: \frac{\triangledown S}{\left \| \triangledown S \right \|}\]

Jamas me quedo claró esto

(06-03-2014 01:16)Nicco escribió:  La deduje por los puntos q me dieron de (1,1) a (4,2).. Pero no se si el razonamiento es correcto

la curva a la que llegas es correcta, pero no se como dedujiste que era una parabola con eje focal sobre el eje x?? podia ser una recta o una hiperbola me interesaria saber esa deduccion que hiciste??

Usas la regla de la mano derecha, vos utilizas al plano donde la curva se proyecta 1 en 1, y al elegir el lado de giro de esa curva (en este caso una circunferencia de radio 3), te da el sentido de la normal. Si lo recorrés en sentido anti-horario la normal va para Z > 0 , en caso contrario para Z < 0.

Además recorda que es sobre TU CURVA INTERSECCIÓN, no sobre el paraboloide,y tu curva intersección es x^2 + y^2 = 9 , con Z = 9. Y para utilizar rotor, tomas el plano Z = 9, que contiene a la curva.

(06-03-2014 02:08)Saga escribió:  

(06-03-2014 01:16)Nicco escribió:  La deduje por los puntos q me dieron de (1,1) a (4,2).. Pero no se si el razonamiento es correcto

la curva a la que llegas es correcta, pero no se como dedujiste que era una parabola con eje focal sobre el eje x?? podia ser una recta o una hiperbola me interesaria saber esa deduccion que hiciste??

Tanteo jaja, como (1,1) -> (2,4) es \[y=x^{2}\] , era una parabola muy parecida

(06-03-2014 02:04)Nicco escribió:  

(06-03-2014 01:52)Saga escribió:  E3) la curva esta dada por

\[C\left\{\begin{matrix}z=9\\x^2+y^2=9 \end{matrix}\right.\]

el rotor

\[rot f=(0,y-z,y-z)\]

la normal \[(0,0,1)\]

finalmente tomando polares

\[\omega=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} (r\sin\theta-9)r drd\theta=-81\pi\]

---

Saga, por que la normal es (0,0,1) y no el gradiente de la superficie? Es decir:
\[S(x,y,z)= x^{2} + y^{2} -z\]
\[\triangledown S=(2x,2y,-1)\]

esa es la forma "dificil", esta bien si queres hacerlo asi pero toma la normal saliente, o sea que la curva se recorra en sentido antihorario, o sea con z positivo, tenes que diferencial de superficie es

\[\triangledown S=(-2x,-2y,1)\]

luego la integral a evaluar es (una vez hechas las cuentas , tomando polares sobre la proyeccion) es

\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}(-2r^2\sin^2\theta+19r\sin\theta-9)rdrd\theta=-81\pi\]

verificalo con wolfram

Podes tomar la normal o de la superficie o del plano, yo por comodidad en cuentas tome la del plano, con cualquiera de las dos que tomes el resultado debe ser el mismo

(06-03-2014 02:22)Saga escribió:  

(06-03-2014 02:04)Nicco escribió:  

(06-03-2014 01:52)Saga escribió:  E3) la curva esta dada por

\[C\left\{\begin{matrix}z=9\\x^2+y^2=9 \end{matrix}\right.\]

el rotor

\[rot f=(0,y-z,y-z)\]

la normal \[(0,0,1)\]

finalmente tomando polares

\[\omega=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} (r\sin\theta-9)r drd\theta=-81\pi\]

---

Saga, por que la normal es (0,0,1) y no el gradiente de la superficie? Es decir:
\[S(x,y,z)= x^{2} + y^{2} -z\]
\[\triangledown S=(2x,2y,-1)\]

esa es la forma "dificil", esta bien si queres hacerlo asi pero toma la normal saliente, o sea que la curva se recorra en sentido antihorario, o sea con z positivo, tenes que diferencial de superficie es

\[\triangledown S=(-2x,-2y,1)\]

luego la integral a evaluar es (una vez hechas las cuentas , tomando polares sobre la proyeccion) es

\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}(-2r^2\sin^2\theta+19r\sin\theta-9)rdrd\theta=-81\pi\]

verificalo con wolfram

Podes tomar la normal o de la superficie o del plano, yo por comodidad en cuentas tome la del plano, con cualquiera de las dos que tomes el resultado debe ser el mismo

Por que hay q tomar z positivo?

Desde ya muchisimas gracias

(06-03-2014 02:27)Nicco escribió:  Por que hay q tomar z positivo?

Desde ya muchisimas gracias

porque si lo tomas negativo (en este ejercicio en particular) la curva se recorre en sentido horario y no te define la la region R que encierra al circunferencia, y el teorema del rotor exige que la normal este orientada con el sentido antihorario que recorre la curva

(06-03-2014 02:33)Saga escribió:  

(06-03-2014 02:27)Nicco escribió:  Por que hay q tomar z positivo?

Desde ya muchisimas gracias

porque si lo tomas negativo (en este ejercicio en particular) la curva se recorre en sentido horario y no te define la la region R que encierra al circunferencia, y el teorema del rotor exige que la normal este orientada con el sentido antihorario que recorre la curva

Claaaaaaaaro ahora si, olvide de ese detalle. Me salvaron la verdad, porque mañana está el recu y no habia entendido porque estaba mal este ejercicio. MUCHAS gracias !