Hola gente! Tengo un ejercicio que no puedo resolver, por favor ayudenme. Es el problema 22) Subí una foto.

Vos tenés un complejo
\[Z = a + bi\]
En tu caso
\[Z = x + (2x-1)i\]
(parte real x, parte imaginaria 2x-1)

Sabemos que

\[|Z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}\]

En tu caso

\[\sqrt{13} = \sqrt{x^{2}+(2x-1)^{2}}\]


Tambien sabemos que

\[\alpha=arctg(\frac{b}{a})\]

Lo que te debería ayudar con el tema del cuadrante.

Primero agrupá la parte real y la imaginaria por separado, lo que te queda:
\[Z= x+i\left ( 2x-1 \right )\]

y luego despejás x sabiendo las siguientes cosas:
Primero la condición de que el módulo sea raíz de 13: lo que te queda
\[\sqrt{13}=\sqrt{x^{2}+\left ( 2x-1 \right )^{2}}\]

Eso te va a dar una cuadrática, pero te están diciendo que tiene que caer en el tercer cuadrante, por lo que el argumento tiene que estar entre pi y 3/2pi (entre 180° y 270°)
Una forma fácil de ver eso es haciendo el gráfico del plano complejo, si analizás los ejes para que el vector caiga en el tercer cuadrante, tanto la parte real como imaginaria deben ser negativas. Si analizás el número Z la única forma de que pase eso es que el x sea negativo. Por lo que te tendrías que quedar con la raíz negativa de la cuadrática de la cuenta anterior.