Muchachos, estoy preparando el final de Algebra y Geometria Analitica, pero me encuentro con algunos problemas que, quizas, ustedes me puedan ayudar. Son ejercicios de finales diferentes, asi que pongo todo en el mismo post.

Aqui van:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sea la TL T:
\[R^3 -> R^3/ M_b_1b_2 = A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}\] la matriz asociada respecto a sus bases \[B_1={(0,2,1),(-1,0,0),(0,0,3)}\] y \[B_2={(1,1,1),(0,0,1),(0,1,0)}\] .
a) Halle la imagen de \[u= (2,0,3)\] en la base canonica.
b) Halle, si existe, una matriz diagonal que represente a la TL e indique en que base.


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sea
\[ A=\begin{pmatrix}k & 0 & 0\\ 1 & 5 & 0\\ 2 & -3 & 1\end{pmatrix}\] .

Halle el valor de "k" tal que sus autovalores sean 1 (simple) y 5 (doble). Para el valor de K hallado, determine si es diagonizable.

Ah, el segundo ejercicio es muy facil Taylor ignorante del pasado.

Acordate que el orden de multiplicidad algebraica debe ser igual al orden de multiplicidad geometrica, por ende, si a vos te dan la condicion de que cuando un autovalor valga 1 tenga orden de multiplicidad algebraica 1, que es igual a su orden de multiplicidad geometrica. Si su orden de multiplicidad geometrica es 1 .... que significa? Que es un vector. Y un vector que es? es una recta. Y una recta de donde sale? Del encuentro entre dos planos. Y que rango debe tener la matriz para que dé dos planos? Rango 2.

Si tomamos la matriz y hacemos la cuenta de A - \[\lambda\] nos debe quedar una matriz de rango 2.

\[ A=\begin{pmatrix}k-\lambda & 0 & 0\\ 1 & 5-\lambda & 0\\ 2 & -3 & 1-\lambda\end{pmatrix}\]

Y hacemos que \[\lambda\] = 1

Queda la matriz
\[ A=\begin{pmatrix}k-1 & 0 & 0\\ 1 & 4 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}\]

Si gausseamos, el unico valor por el cual la matriz queda de rango 2 es con k=3



Ahora, hay que hacer lo mismo en el caso del valor doble del autovalor 5.

Si \[\lambda\] =5 y es doble, su orden de multiplicidad geometrico es 2, que significan que son dos vectores, que forman un plano, un plano se escribe con un solo vector normal. Entonces, el rango de la matriz me tiene que dar 1, ya que es un solo vector.

Saga, creo que vos habias sacado el primero.... me tiras una idea?

ala parte teórica de álgebra de donde la estas estudiando yo la promocione y no se de donde estudiar gracias

La estoy estudiando de donde puedo... hay mucho material en todos lados...hay unos libros de Asimov que tienen linda practica, despues en el foro hay varios resumenes y sobretodo en wikipedia y en youtube. Hay informacion de sobra!

Igual, si puedo alguno de estos dias paso todos mis resumenes para que lo tengan.

loco en el punto 1 lo que te convendría hacer es sacar la expresión analítica! Para esto haces lo siguiente :
a) pones b2 en columnas * la matriz * (b1 en columnas) a la menos 1. Ahí sacas la expresión analítica y lo único que tendrías que hacer es reemplazar (2,0,3) y sacas la imagen!!
en el punto b creo que tendrías que fijarte si es diagonalizable , (creo que si) y armas la matriz D con los autovalores en la diagonal principal.

En el ejercicio de abajo el valor de k es 5 porque hay un teorema que nos indica que si una matriz es triangular superior o inferior sus autovalores se encuentran en la diagonal principal . En este caso tenemos una matriz triangular superior y como el ejercicio nos pide que 5 sea un autovalor doble entonces ya sabes.
Después de esto quedaría saber si es diagonalizable , creo que con eso no vas a tener problema.

Escuchame vos como andas con los ejercicios de superficies y rototraslacion porque yo estoy preparando el final también y tengo problemas con eso.

Man, el primero lo resolvi, pero fijate que te piden que este en el vector canónico, eso es el \[{(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)}\]. Con superficies ando bien y rototraslacion es, por el momento, simplemente acordame de la formula, no me parece tan complejo. Formula, diagonilizar y ver que me queda....


En el ejercicio dos no recordaba la propiedad que comentas, tenes razón. Igualmente, el tema de que el orden de multiplicidad geométrico y algebraico no es complicado y te puede salvar en matrices que no son de este estilo, al poder imaginarte lo que la matriz puede dar.

Cualquier problema postealo asi te doy una mano!