Compañeros, buenas noches. Cómo andan?

Les quería pedir una mano en unos ejercicios teóricos ....

Son algunas demostraciones que no puedo llevar adelante.
Estas son las siguientes:

A y B son sucesos independientes entonces A y B son sucesos mutuamente excluyentes.

A y B sucesos de un espacio muestral, P (A/B) + (P A'/B) = 1

Defina sucesos independientes. Tengo entendido que son aquellos que su probabilidad conjunta se calcula como:

P(A y B) = P(A) * P(B)

Faltaría agregar algo a la definición?

Por ahora es esto.
Espero puedan darme una mano.
Desde ya que les agradezco!!

Si no me equivoco eso es un verdadero o falso, no demostraciones, xq el de: A y B sucesos de un espacio muestral, P (A/B) + (P A'/B) = 1
no es verdad ya que P(B) deberia ser 1

P(b) no podría ser menor que 1? Son verdaderos o falsos es cierto pero piden justificación.

Lo que más me interesa es la definición de probabilidad condicional. Me podrías ayudar?

Sent from my GT-I9070 using Tapatalk 2

Si no me equivoco eso es un verdadero o falso, no demostraciones, xq el de: A y B sucesos de un espacio muestral, P (A/B) + (P A'/B) = 1
no es verdad ya que P(B) deberia ser 1

P(b) no podría ser menor que 1? Son verdaderos o falsos es cierto pero piden justificación.

Lo que más me interesa es la definición de probabilidad condicional. Me podrían ayudar?

Sent from my GT-I9070 using Tapatalk 2

Independencia:
Sean dos sucesos A y B se dice que son independientes si la ocurrencia previa de uno de ellos no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro.
De la definición resulta:
P(A/B)=P(A)
P(B/A)=P(B)
En consecuencia:
\[P(A\cap B)=P(A).P(B)\]

1) A y B son sucesos independientes entonces A y B son sucesos mutuamente excluyentes.
Falso

Por ejemplo sean A y B dos sucesos mutuamente excluyentes tal que:
\[A \bigcap\ B = \o \]

Por probabilidad condicional

\[P\left ( A\mid B \right ) = \frac{P(A\bigcap B)}{P(B)} = 0\]

Asumiendo que A y B no son conjuntos vacios entonces o bien la probabilidad de ambos son distinto de 0:

\[P(A) \neq P(A\mid B)\]

Lo cual podes repetir para B. Y de esa forma demostras que no son independientes pero son mutuamente excluyentes.
Si tomas A el conjunto vacio y B el conjunto vacio no tendria gracia la demostracion porque A y B son el mismo conjunto.

Con dar un ejemplo basta.

2) A y B sucesos de un espacio muestral, P (A/B) + (P A'/B) = 1

Por definicion:

\[P(A\mid B) =\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

\[P(\bar{A}\mid B) = \frac{P(\bar{A}\cap B)}{P(B)}\]

Pero lo que dije antes se puede escribir como:

\[P(\bar{A}\mid B) = \frac{P(\bar{A}\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B) - P(A\cap B)}{P(B)}\]

Sumando ambas queda:

\[P(\bar{A}\mid B) + P(A\mid B) = \frac{P(\bar{A}\cap B)}{P(B)} + \frac{P(A\cap B)}{P(B)}= \frac{P(B) - P(A\cap B)}{P(B)} + \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} = 1\]

Por lo cual es verdadero.

Aclaro algo: Seria verdadero asumiendo que B no es el conjunto vacio o bien P(B) no da 0. Sino estarias dividiendo por cero y no esta bien, seria una indeterminacion en realidad. Espero que lo aclare el enunciado.

3)

Si son sucesos independientes entonces:

\[P(A\cap B) = P(B).P(A\mid B)\]

Pero por ser independientes:

\[P(A\mid B) = P(A)\]

Reemplazando:

\[P(A\cap B) = P(B).P(A)\]

Espero que te sirva, si le pifie a algo avisen que yo tambien rindo probabilidad.