Les dejo este parcial, si me pueden ayudar con el 2 y el 1c me darían una gran ayuda cuando los valla terminando voy a ir subiendo los resultados

   

Gracias

1) Basta probar que el error en la def de diferenciabilidad es igual a cero , si es distinto de 0, f no es diferenciable , solo tenes que resolver el siguiente limite

\[\lim_{(x,y)->(2,0)}\frac{\sin (y)(x-2)^2}{(x-2)^2+y^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{(x-2)^2+y^2}}\]

basta elegir la curva

\[y=x-2\]

y ver que pasa con ese limite, imagino que lo podes seguir desde aca

2) si la recta tangente a la curva es perpendicular a la recta dada , solo tenes que imponer la condicion de perpendicularidad entre sus directores respectivos , haciendo las cuentas salvo error u omision tenes que resolver la ED

\[f'(t)+\frac{1}{t}f(t)+4=0\]

si llamas

\[y=f(t)\]

tenes

\[y'+\frac{1}{t}y=-4\]

ED de la forma

\[y'+p(t)y=q(t)\]

lo podes continuar ahora ?

MUCHAS GRACIAS!!!!

aca dejo el 1a y el 1b.
el 1a se que esta bien pero tengo mis dudas con el 1b, en donde v tiene que ser distinto a 0, y en el final donde defino toda la derivada direccional
si ven algo mal avisen

   

y para que analizas la existencia de las parciales ?? si solo te pide las direccionales si no hay error en cuentas f es derivable en toda direccion

yo lo hice como muestra la foto, mi duda es el "si v=0?"    

Pero porque queres imponer que v sea el vector nulo ?? o sea si despues de hacer las cuentas el resultado final quedase en funcion de u v y h , ahi si tenes que analizar que pasa cuando h es cero o no , sino ya esta tenis que cortarlo en

\[u^2\cdot v\]

y concluir que es derivable para toda direccion

No tiene sentido que analizes v=0, si ya de entrada decis que es un versor junto con u y que cumple la propiedad que ambos elevados al cuadrado dan 1 , entonces no entiendo porque queres imponer que v=0 , estarias entrando en una contradiccion con respecto a lo que enunciaste inicialmente .

yo entendia lo mismo que vos, pero por que el profesor me corrigió eso?
mañana le voy a preguntar pero por lo que entiendo ahora el ver (1,0) y el (-1,0) tienen componente v=0 entonces no puedo multiplicar por v/v por q estaria multiplicando por 0/0
por eso evaluo la derivada en esas 2 direcciones

eso que te mando en rojo tu profe no va , por eso te puso no se entiende , y es mas recalca v=0 ??? pero bueno pregunta asi estas mas tranquilo