Dejo los ejercicios que no me salieron del TP3. Espero que me puedan ayudar a resolverlos. Saludos y gracias.


9.2) Dado \[p(x) = ax^3 +ax^2+7x+b\] determine los valores reales de a y b para que p(x) sea divisible por q(x)=x-1 y por r(x)=x+3

Rta: a= -7/5, b= -21/5




14) Sea la ecuación \[ax^2+bx+c=0\] (a≠0) con raíces: \[x_{1}\epsilon \mathbb{R},x_{2}\epsilon \mathbb{R}\]equivalente a la ecuación: \[x^2+\tfrac{b}{a}x+\tfrac{c}{a}=0\]
Pruebe las siguientes propiedades de las raíces:
14.1) \[x_{1} + x_{2} = - \tfrac{b}{a}\] 14.2) \[x_{1} x_{2} = \tfrac{c}{a}\]




16.1) Determine el valor real de k, tal que: \[5kx^2- (2k +10)x+4=0\] tenga raíz doble.

Rta: k=5




21) Hay un estandarte de 4 dm. x 3 dm. tiene un cruz roja, de ancho uniforme, que se extiende de lado a lado cubriendo la mitad del área. ¿Cuál es el ancho de la cruz?

Rta: 1dm




33) En un campeonato de ajedrez cada maestro juega una vez con cada uno de los restantes. Si en total se juegan 45 partidas. ¿Cuántos son los jugadores?

Rta: 10 jugadores

A medida que los voy sacando y pueda los voy posteando, estoy un poco oxidado para ponermelos a resolver pero una chica el sábado pregunto por uno de esos problemas y lo resolvimos.


16.1) Determine el valor real de k, tal que:

tenga raíz doble.

Rta: k=5


Para este tenes que conocer que es lo que hayas cuando resolves una resolvente.
Cuando trabajas en una resolvente conseguís las raíces. En la resolvente hay una raiz si esta es 0 (osea el discriminante) entonces tenes una sola raíz. Si da mayor a 0 entonces tenes 2 raíces y si te da un número negativo entonces no hay raíces reales.
Vos lo que tenes que hacer es plantear la resolvente y buscar que el discriminante sea mayor a 0. Dentro de la raíz vas a tener la k como variable y ahí te va a quedar para despejar el valor de K.
En el caso que no se entienda lo que explique me decis y te lo hago... Pero intenta vos primero.

Saludos!

Te dejo este, primero intentalo con lo que dijo Feer, sino miralo acá:

Gracias Feer!! Ahí pude resolver el 16.1 Lo mío al parecer es un problema conceptual más que operativo: me diste el "empujón" conceptual y logré resolverlo al instante.

---

Hice eso mismo, sentey. Gracias.

Ah, y aca una de las demostraciones:



Sumando numeradores (ya que los denominadores son iguales), te queda que:

\[x_{1}+x_{2}=\frac{-2b}{2a}\]

Simplifico:

\[x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\]

Fijate si podes sacar la otra, es un poco mas dificil!

Buenisimo!!
Estoy intentando el 14.
Ahora en un rato si me sale te lo subo!

---

Bueno me gano de mano.

Gracias muchachos. sentey ahí pruebo con el otro, emulando lo que hiciste vos, y te aviso.

9.2)

Este me parece que se resuelve en dos partes..
No estoy seguro con dos polinomios deberias resolverlo pero si estoy bien encaminado deberias dividir a tu polinomio p(x) primero por x-1 te va a quedar un resto entonces ese resto lo tenes que igual a 0...
Tipo así:



b − a = 0 −a + 6 = 0

a = 6 b = 6

Y después probaría con r(x) a ver si da los mismos valores..
Si no llega a dar me decís y lo veo con algun otro teorema, por ahí tiene que estar.. o por ruffini.

Yo lo hice hace un par de días y no me acuerdo si lo hice por Ruffini o con el algoritmo tradicional de la división, en realidad lo hice de las dos formas, pero resulta que una de esas me dieron bien los numeradores, pero el denominadores me daba 1. O sea, me daba -7 y -21.

La verdad ni idea...
Te lo debo.. Mañana si no termino oxidado de estudiar lo resuelvo..

El 33 es un clásico con todas las letras y es MUY divertido..
Analizamos por partes..



Tenemos n cantidad de jugadores en el torneo.. Si nadie juega contra si mismo que es obvio entonces vamos a tener (n-1) jugadores contra los que podamos jugar...
Ahora : n(n-1)

Ahora si dividimos todo por dos (porque tenemos que descartar que los jugadores jueguen a-b b-a) y luego igualamos a 45 tenemos la ecuacion donde tenemos que despejar n.

A partir de ahora es todo tuyo el problema, es una cuadratica tenes 2 valores, usa el real uno da negativo el otro positivo!

---

El 21 no tengo IDEA.

Ahh, yo había hecho n(n-1)=45 PERO no lo dividí por dos, y ahí mi error. Gracias de nuevo.

El 21 me parece que lo acabo de resolver, o al menos me da el mismo resultado. Si entedí bien podemos decir que, dado que la cruz "se extiende de lado a lado" del estandarte, el área de la cruz es 4 dm. multiplicado por el ancho de la cruz, más 3 dm. multiplicado por el ancho de la cruz, menos el área del centro de la cruz (para no contabilizarlo dos veces). El área del centro de la cruz es igual al ancho de la cruz multiplicado por el ancho de la cruz, o sea el ancho de la cruz al cuadrado. A su vez dice que el área de la cruz es la mitad del área del estandarte. Así que, si llamamos "x" al ancho de la cruz nos queda:

\[4x + 3x - x^2 = \frac{3\cdot4 }{2}\]

Llevamos todo a un lado de la ecuación, dejando "0" del otro, y hacemos la resolvente, que nos da:

\[x_{1} = 6\]
\[X_{2} = 1\]

6 dm no puede ser porque si no el ancho de la cruz sería más grande que el estandarte, así que es 1 dm.


sentey, no hay caso con el 14.2 ¿me tirás alguna pista?

Hola, podes resolver el 9.2 aplicando el teorema del resto, por dato tenes que el polinomio de tercer grado es divisible por q(x) y r(x) , con lo cual aplicando el teorema del resto se verifica que p(a)=0, de donde

\[\\p(1)=2a+b+7=0\\\\p(-3)=-18+b-21=0\]

sistema de ecuaciones que no creo te represente inconvenientes

saludos

---

Parael 14.2 defino el discriminate de la formula de Baskara (resolvente) como \[\Delta=b^2-4ac\] , entonces

\[x_1.x_2=\left(\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right).\left(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=............................\frac{b^2-\Delta}{4a^2}=...\]

reemplaza el valor del discriminante y problema resuelto

saludos

Me olvide del teorema del resto!!!!
Me llevo yo también el resultado!

Gracias Saga.

¿Cuál es el dato que te dice que el resto de las dos divisiones es 0?
Porque sólo dice que P(x) es divisible por Q(x) y por R(x), ¿ese dato ya implica que el resto de esas divisiones es 0?

Saludos!

Es un teorema..
El resto de la division de un polinomio p(x) y un binomio de la forma: q(x) = x+a es: r(x) = r = p(-a)