Hola quería saber si alguno tiene una foto o las consignas del final que se tomó ayer 17/02 en Matemática Discreta.

Bastante dificil clave un 2. Si encuentro algun borrador subo algo por que no me dejaron sacarle foto.

Hola! Yo rendí en esa fecha y por suerte aprobé, no fue nada jodido en mi opinión. Te paso lo que me acuerdo que tomaron:

Punto 1) Te daban dos relaciones\[R : aRb \Leftrightarrow 4 | a - b\] y \[S : aSb \Leftrightarrow r_{a}(3) = r_{b}(3)\]. Te pedían dar \[R \cap S\], te preguntaban si era de equivalencia y, en caso de que sea, dar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.

Punto 2)
a) Verificar en \[\mathbb{Z}_{3}\] si \[(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3}\]
b) Dar el resto, sin realizar el cálculo, de \[2^{4k}\] dividido \[5\] , con \[k \epsilon \mathbb{Z}^{+}\] y \[k\geq 1\]

Punto 3) Es el ejercicio de este thread: Punto 3 . Además de lo que dice ahí, pedían tomar el subgrupo generado por \[<\sqsubset3 \sqsupset > \], dar su índice y la partición que genera en el grupo.

Punto 4) Te daban una expresión lógica en in-orden creo. a) Te pedían recuperar el árbol y recorrerlo en otro orden. b) resolver la expresión sin utilizar tablas de verdad.

Punto 5) Eran 3 puntitos que tenías que decir si eran verdaderos o falsos y justificar en cada caso.
a) Lo que me acuerdo es que te daban un conjunto y te decían que era conjunto de partes de otro conjunto.
b) Te daban dos números n y m y decía que \[\varphi (n.m) = algo\]; creo que los valores eran: \[n = 27 ; m= 64\]
c) Creo que era algo de álgebra de boole.

Espero que te sirva!

Saludos y suerte!

Como resuelven este?
b) Dar el resto, sin realizar el cálculo, de 2^{4k} dividido 5 , con k \epsilon \mathbb{Z}^{+} y k\geq 1

(21-02-2016 14:11)Turki escribió:  Como resuelven este?
b) Dar el resto, sin realizar el cálculo, de 2^{4k} dividido 5 , con k \epsilon \mathbb{Z}^{+} y k\geq 1

Sale como piña usando el Pequeño Teorema de Fermat:

Arrancás expresando \[2^{4k}\] como \[(2^{4})^{k}\] , ésto lo hacés para poder usar el teorema, que asegura que \[a^{p-1} \equiv 1_{(p)}\] siendo \[p\] primo.
Reemplazamos en la fórmula: \[2^{4} \equiv 1_{(5)}\]
Elevamos a k ambos lados: \[2^{4k} \equiv 1^{k}_{(5)}\]
De acá surge que el resto de dividir \[2^{4k}\] por 5 es igual al resto de dividir \[1^{k}\] por 5 y, teniendo en cuenta que 1 elevado a cualquier k es igual a 1, el resto es 1.

Espero haberme explicado bien.

Saludos!

Alguno sabe como plantear el 2a.

(19-02-2016 23:56)FeRLanD escribió:  Hola! Yo rendí en esa fecha y por suerte aprobé, no fue nada jodido en mi opinión. Te paso lo que me acuerdo que tomaron:

Punto 1) Te daban dos relaciones\[R : aRb \Leftrightarrow 4 | a - b\] y \[S : aSb \Leftrightarrow r_{a}(3) = r_{b}(3)\]. Te pedían dar \[R \cap S\], te preguntaban si era de equivalencia y, en caso de que sea, dar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.

Punto 2)
a) Verificar en \[\mathbb{Z}_{3}\] si \[(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3}\]
b) Dar el resto, sin realizar el cálculo, de \[2^{4k}\] dividido \[5\] , con \[k \epsilon \mathbb{Z}^{+}\] y \[k\geq 1\]

Punto 3) Es el ejercicio de este thread: Punto 3 . Además de lo que dice ahí, pedían tomar el subgrupo generado por \[<\sqsubset3 \sqsupset > \], dar su índice y la partición que genera en el grupo.

Punto 4) Te daban una expresión lógica en in-orden creo. a) Te pedían recuperar el árbol y recorrerlo en otro orden. b) resolver la expresión sin utilizar tablas de verdad.

Punto 5) Eran 3 puntitos que tenías que decir si eran verdaderos o falsos y justificar en cada caso.
a) Lo que me acuerdo es que te daban un conjunto y te decían que era conjunto de partes de otro conjunto.
b) Te daban dos números n y m y decía que \[\varphi (n.m) = algo\]; creo que los valores eran: \[n = 27 ; m= 64\]
c) Creo que era algo de álgebra de boole.

Espero que te sirva!

Saludos y suerte!

Como resolviste el punto 1?

(21-02-2016 17:48)alejandro.mattioli escribió:  

(19-02-2016 23:56)FeRLanD escribió:  Hola! Yo rendí en esa fecha y por suerte aprobé, no fue nada jodido en mi opinión. Te paso lo que me acuerdo que tomaron:

Punto 1) Te daban dos relaciones\[R : aRb \Leftrightarrow 4 | a - b\] y \[S : aSb \Leftrightarrow r_{a}(3) = r_{b}(3)\]. Te pedían dar \[R \cap S\], te preguntaban si era de equivalencia y, en caso de que sea, dar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.

Punto 2)
a) Verificar en \[\mathbb{Z}_{3}\] si \[(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3}\]
b) Dar el resto, sin realizar el cálculo, de \[2^{4k}\] dividido \[5\] , con \[k \epsilon \mathbb{Z}^{+}\] y \[k\geq 1\]

Punto 3) Es el ejercicio de este thread: Punto 3 . Además de lo que dice ahí, pedían tomar el subgrupo generado por \[<\sqsubset3 \sqsupset > \], dar su índice y la partición que genera en el grupo.

Punto 4) Te daban una expresión lógica en in-orden creo. a) Te pedían recuperar el árbol y recorrerlo en otro orden. b) resolver la expresión sin utilizar tablas de verdad.

Punto 5) Eran 3 puntitos que tenías que decir si eran verdaderos o falsos y justificar en cada caso.
a) Lo que me acuerdo es que te daban un conjunto y te decían que era conjunto de partes de otro conjunto.
b) Te daban dos números n y m y decía que \[\varphi (n.m) = algo\]; creo que los valores eran: \[n = 27 ; m= 64\]
c) Creo que era algo de álgebra de boole.

Espero que te sirva!

Saludos y suerte!

Como resolviste el punto 1?

R y S son dos relaciones congruencia módulo 4 y 3 respectivamente, por lo tanto:

\[W = R \cap S\]

\[a\, W\, b\, \Leftrightarrow \] \[4| a - b\] \[\wedge\] \[3|a-b\]

Lo que yo deduje es que para que esa condición se cumpla, a - b debe ser divisible por \[m.c.m(4,3) = 12\].

Nos queda: \[a\, W\, b\, \Leftrightarrow 12| a - b \, \rightarrow \, a\equiv b(12)\]

Es de equivalencia por ser una relación de congruencia y las clases y el conjunto cociente ya sabemos cuáles son.

Espero haberme explicado bien.

Saludos!

Para el 2-a está bien decir esto?

Para lo que está a la izquierda del =

(a+b)^2=1(3)
(a+b)^3=a+b(3)

Y para lo que está a la derecha del =

a^2=1(3) b^2=1(3)
a^3=a(3) b^3=b(3)

Sumé miembro a miembro y quedó
a^3+b^3=a+b(3)

Y como en ambos lados del igual me da el mismo resto, supongo que es verdadero.

Alguno tiene idea si se lo puede encarar así o si es cualquier cosa?

puede ser, pero en ese caso el resto seria igual y no el resultado en si, es mas, hay casos en los que no se cumple por ejemplo en el (1,1) y (2,2) ==> (2+2)^{3} = 2^{3} + 2^{3} seria 64=16.. por eso no sabia se puede plantear un contraejemplo o sino como se plantea correctamente
Gracias

Pero el ejercicio pide verificar en Z3, entonces lo que importa es el resto. Yo le pregunté al profesor de mi mesa y me dijo que se podía demostrar probando caso por caso, porque el conjunto es muy pequeño. Después la otra forma era desarrollando el binomio al cubo de la izquierda y de ahí tambien podías llegar a probarlo. Lo terminé haciendo de la primera forma y estaba bien, supongo.

como es el conjunto de equivalencia en el punto 1? y como se demuestra que es resflexiba?

Básicamente para el 2a) planteás esto:

\[(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]

Como estás en Z3, el 3 "es" un 0 (En Z3 tenés el 0,1,2). Como es un 0, se cancela

\[(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = a^3+b^3\]


Es un ejercicio que viene dando vueltas desde hace mil años, no sé como querrán que lo hagas ahora, pero en su momento era una respuesta válida

Saludos !!!

(23-02-2016 11:54)NicoEndler escribió:  como es el conjunto de equivalencia en el punto 1? y como se demuestra que es resflexiba?

No hace falta demostrar que es reflexiva, de hecho no hace falta demostrar que es de equivalencia, ya que se sabe que la relación congruencia módulo n es de equivalencia; en los apuntes del curso virtual lo demuestran por si acaso lo queres ver.
El conjunto cociente va a constar de las clases residuales de Z12, o sea:{ cl(x) tal que x = 0,1,..., 11 }

Gracias!!