Lo rendi ayer, pero me colgue en pedirlo.

Principalmente el ejercicio 2 y como resolverlo, decia asi

2) Se deja caer una pelota a 100 cm de altura. Cuando rebota en el suelo, rebota a 2/3 de su altura original. Calcular la distancia recorrida por la pelota


Se que es una serie

\[\sum_{n=o}^{\infty } (2/3)^n *100\]


Tiene que ser algo asi, el tema es como hago con la distancia que recorre cuando sube ? Tengo que poner un 2 adelante de la serie ?

Ademas, si calculo la convergencia estoy calculando si la serie es convergente o no, como hago para sacar la distancia ?

Gracias !

Me uno al pedido del final! La semana que viene voy a ver de rendirlo..

Con respecto a tu duda.. No estoy seguro pero creo que hay que usar la serie que diste vos para calcular la suma a la que converge, y en las series geometricas es a/(1-q)

seria = 100/(1-(2/3))

Ese problema mi profesor lo dió en clase (Uno similar). El problema respecto a la parte "fisica" del problema, es que, al no tener el radio, se asume un punto material, que rebota indefinidamente.
Es decir, lo que hay que calcular es la convergencia, porque, al no detenerse nunca, no puedes calcular realmente cuanto rebota, solo decir: "Mientras mas lo dejes, mas se acerca a tal numero"

Me quede re intrigado con esto y me puse a pensar como seria la serie.. porque me parece que esta mal planteada.. este fue mi razonamiento:

Como dice que la deja caer de 100 metros, lo primero que recorre son 100
despues a eso hay que sumarle 2/3 . 100 que es lo que sube al rebotar, pero esto habria que multiplicarlo por 2 lo que sube la pelota y lo que baja que es la misma distancia
y a cada ciclo de rebote se lo vuelve a mult por 2/3 osea que 2/3 va elevado a la n....

entonces la serie seria 200(2/3)^n ( con n desde 1 hasta inf)

El resultado seria la suma de esa serie geométrica + 100 (que son los primeros 100 cms que recorre al dejarla caer)

me dio que recorre 600 +100 = 700 cm

Puede ser?

(06-12-2012 23:14)agusbrand escribió:  Me quede re intrigado con esto y me puse a pensar como seria la serie.. porque me parece que esta mal planteada.. este fue mi razonamiento:

Como dice que la deja caer de 100 metros, lo primero que recorre son 100
despues a eso hay que sumarle 2/3 . 100 que es lo que sube al rebotar, pero esto habria que multiplicarlo por 2 lo que sube la pelota y lo que baja que es la misma distancia
y a cada ciclo de rebote se lo vuelve a mult por 2/3 osea que 2/3 va elevado a la n....

entonces la serie seria 200(2/3)^n

El resultado seria la suma de esa serie geométrica + 100 (que son los primeros 100 cms que recorre al dejarla caer)

me dio que recorre 600 +100 = 700 cm

Puede ser?

Si yo pense algo parecido cuando hice el final pero no lo sabia plantear, lo que se me ocurre es que si sumamos los terminos manualmente:

100+66+66+43.56+43.56+28.74+28.74+18.96+18.96+12.51+12.51+8.26+8.26+5.45+5.45+3.59+3.59 =474 < 500

No llegariamos nunca a 600 o a 700 asi que debe haber algo mal en el planteo de la serie.

Claro.. pero manualmente no se si podes estimar hasta que valor puede llegar.. porque pensa que es hasta el infinito, y son numeros muy chicos pero como son tantos que pueden llegar a lograr 600
yo lo calcule con la formulita de series geometricas

El final fue el 5 o el 4?

(06-12-2012 23:14)agusbrand escribió:  Me quede re intrigado con esto y me puse a pensar como seria la serie.. porque me parece que esta mal planteada.. este fue mi razonamiento:
Como dice que la deja caer de 100 metros, lo primero que recorre son 100
despues a eso hay que sumarle 2/3 . 100 que es lo que sube al rebotar, pero esto habria que multiplicarlo por 2 lo que sube la pelota y lo que baja que es la misma distancia
y a cada ciclo de rebote se lo vuelve a mult por 2/3 osea que 2/3 va elevado a la n....
entonces la serie seria 200(2/3)^n ( con n desde 1 hasta inf)
El resultado seria la suma de esa serie geométrica + 100 (que son los primeros 100 cms que recorre al dejarla caer)
me dio que recorre 600 +100 = 700 cm
Puede ser?

(06-12-2012 23:24)leaan escribió:  Si yo pense algo parecido cuando hice el final pero no lo sabia plantear, lo que se me ocurre es que si sumamos los terminos manualmente:
100+66+66+43.56+43.56+28.74+28.74+18.96+18.96+12.51+12.51+8.26+8.26+5.45+5.45+3.59+3.59 =474 < 500
No llegariamos nunca a 600 o a 700 asi que debe haber algo mal en el planteo de la serie.

La serie así está perfecta:
\[\sum_{n=1}^{\infty }200*(\frac{2}{3})^{n}\]

El tema es que CV a 600. La siguiente fórmula considera el término n=0 que vale 200.
\[\frac{a}{1-q}=\frac{200}{1-\frac{2}{3}}=\frac{200}{\frac{1}{3}}=\frac{200*3}{1}=600\]

Se puede escribir de otra forma para que empiece de n=0
\[\sum_{n=0}^{\infty }200*(\frac{2}{3})^{n+1}\]

Pero no cambia nada para la fórmula, sigue dando 600. Lo que pasa es que lo que cambié para n=0, lo tengo ahora en el n+1 y la fórmula lo considera para n.

\[\sum_{n=0}^{\infty }a*q^{n} = a (1+q+q^2+q^3...+q^n)= CV a S = \frac{a}{1-q}\]

Lo correcto:
Tiene que CV a 400. Hice la sumatoria en la calculadora con n=100, n=200, n =300, y siempre me da clavado 400, de cualquiera de las dos Sumatorias (de hecho es lo mismo).

Resolución
\[\sum_{n=0}^{\infty }200*(\frac{2}{3})^{n}- 100\]

Como el primer termino (n=0) vale 200, hay que restarle 100 a la primer caída ya que en el primer rebote va a 2/3 de 100.

\[\frac{a}{1-q}=\frac{200}{1-\frac{2}{3}}=\frac{200}{\frac{1}{3}}=\frac{200*3}{1}=600 - 100 = 500\]

Y listo. Bastante rebuscado.

(06-12-2012 23:34)agusbrand escribió:  Claro.. pero manualmente no se si podes estimar hasta que valor puede llegar.. porque pensa que es hasta el infinito, y son numeros muy chicos pero como son tantos que pueden llegar a lograr 600
yo lo calcule con la formulita de series geometricas

Lo que hizo está bien, estimó manualmente, tendría que haber estimado con más, pero no está mal. Por ejemplo con n=20 da 599,8797085, n=30 da 599.997914. La diferencia entre 10 valores es muy chica, y cada vez va a ser más chica.
Pensá que cada vez son números más chicos, y llega un momento que son despreciables para la sumatoria, por eso CV a un cierto número, si no todas las series serían DV.

Muchas gracias!! tenes razon, me olvide que la formulita de a/1-q contempla n=0 !
Saludos!

(10-12-2012 23:11)agusbrand escribió:  Muchas gracias!! tenes razon, me olvide que la formulita de a/1-q contempla n=0 !
Saludos!

De nada!!! Alguién tiene el final para subirlo?? Fue el 05/12 o el 04/12???

(10-12-2012 23:51)leandrong escribió:  

(10-12-2012 23:11)agusbrand escribió:  Muchas gracias!! tenes razon, me olvide que la formulita de a/1-q contempla n=0 !
Saludos!

De nada!!! Alguién tiene el final para subirlo?? Fue el 05/12 o el 04/12???

Fue el 04/12 ahi lo arregle, yo tengo los enunciados, no es completo pero algo es algo

1) v y f
a) el area encerrada por la grafica \[1/\sqrt{x}\]y sus asintotas es un numero racional
b) entre todos los rectangulos de diagonal d conocidad, el mayo area es el cuadrado
2) se deja caer una pelota desde una altura de 100 cm. cada vez que golpe al piso rebota a 2 sobre 3 de su altura anterior. determine la dist total recorrida por la pelota hasta que se detiene
3) aplicar teoremafunamental del calculo y
a) determine la funcion f
b) calcule a
4) la agencia de forestacion de un pais a paroir de sus estadisticas elaboro sendos modelos matematicos en el consumo de leña y el crecmiento de nuevos arboles.......(habia que escribir 2 funciones y calcular el area entre ellas)
5) una serie y determinar si converge a la funcion en un intervalo que debe determinar. a partir de ello realizar el desarollo de mac laurin.........

2) En un rectángulo cuya diagonal "d" es conocida, el de mayor área es el cuadrado.

La diagonal la conocemos por Pitágoras.
\[d^2=b^2+h^2\]

Para ver si un cuadrado en este caso es máximo, nos quedaría:
\[d^2=b^2+b^2\]

Despejando:
\[d^2=b^2+b^2 \to d^2=2b^2 \to \frac{1}{2}*d^2=b^2(1)\]

El área de un cuadrado es:
\[AR = b*b=b^2(2)\]

Reemplazando (1) en (2)
\[f(b) = \frac{1}{2}*d^2\]

Derivando respecto de b:
\[f'(b)=0\]

La derivada se hace 0, y la derivada segunda también lo sería (no sería ni mayor o menor 0) por lo tanto no es ni máximo ni mínimo. ¿Puedo afirmar algo? ¿O se hace de otra forma?

Intenté por esta forma, que sí sirvió:
\[d^2=b^2+h^2 \rightarrow \sqrt{d^2-b^2}=h\]

Reemplazando en el área del rectángulo:
\[AR = b*h \rightarrow b* \sqrt{d^2-b^2}\]

Derivando:
\[b*\frac{1}{2}*\frac{1}{\sqrt{d^2-b^2}}*(-2b)+\sqrt{d^2-b^2}\rightarrow \frac{-b^2}{\sqrt{d^2-b^2}}+\sqrt{d^2-b^2}\rightarrow \frac{-b^2+\sqrt{d^2-b^2}*\sqrt{d^2-b^2}}{\sqrt{d^2-b^2}}\rightarrow \frac{-b^2 +d^2-b^2}{\sqrt{d^2-b^2}} \rightarrow \frac{-2b^2+d^2}{\sqrt{d^2-b^2}}\]

Igualando a 0
\[\frac{-2b^2+d^2}{\sqrt{d^2-b^2}}=0 \to -2b^2+d^2 = 0 \rightarrow 2b^2=d^2 \to b^2 = \frac{1}{2}d^2\rightarrow b=\sqrt{\frac{1}{2}}*d\]

Despejando en h:
\[h=\sqrt{d^2-b^2} \rightarrow \sqrt{d^2-(\frac{1}{2}*d^2)}\rightarrow \sqrt{\frac{1}{2}*d^2}\rightarrow h=\sqrt{\frac{1}{2}}*d\]

Por lo tanto:
h = b --> Es un cuadrado.

La Derivada segunda es un choclo, el numerador es siempre positivo (es una raíz), me puedo fijar a los costados del numerador cuando la derivada primera se hace 0.

\[f(\sqrt{\frac{1}{2}}d-1)=-2b^2+d^2=-2(\sqrt{\frac{1}{2}}d-1)^2+d^2=-2(\frac{1}{2}d^2-2\sqrt{\frac{1}{2}}d+1)+d^2=-d^2+4\sqrt{\frac{1}{2}}d-2+d^2=2(2\sqrt{\frac{1}{2}} d-1) > 0 Crece\]

\[f(\sqrt{\frac{1}{2}}d+1)=-2b^2+d^2=-2(\sqrt{\frac{1}{2}}d+1)^2+d^2=-2(\frac{1}{2}d^2+2\sqrt{\frac{1}{2}}d+1)+d^2=-d^2-4\sqrt{\frac{1}{2}}d-2+d^2=2(-2\sqrt{\frac{1}{2}} d-1) < 0 Decrece\]

Por lo tanto es un máximo. Esto suponiendo un d >= 1, porque no sé si es lo mejor usar a los costados con -1, porque si usas una diagonal muy chica te da negativo en la primera y en la segunda el numerador se anula. Esto se debe a que la derivada tiene 2 ceros, y capaz uno se pasa de intervalo. No sé si el enunciado decía para un d mayor a tanto. Pero bueno, es así el ejercicio.