(12-05-2013 14:59)Gonsha escribió:  Pero ser eso es lo que no entendi, osea con coggi - dini yo tengo numeros, no ecuaciones con formas de planos.

exacto, lo que te proporciona el teorema de Couchy dini son numeros como bien decis... pero esos numeros que te va proporcionando el teorema despues te sirven para armar la ecuacion del plano

tangente... o aproximacion que es de la forma

\[z\approx f(A)+f'_x(A)(x-x_0)+f'_y(A)(y-y_0)\]

con la primera condicion del teorema

1) F(A)=0 obtenes el termino independiente del plano \[f(A)\]

2) Con la aproximacion que yo defini entonces \[F'_z\] tiene que ser distinta de cero, si la derivada en z se hace 0 entonces el plano tangente no sera \[z=f(x,y)\]

habra que ir probando con la parcial en x, si no se hace cero entonces el plano tangente sera de la forma \[x=f(y,z)\] si se hace 0, entonces no queda mas que probar con la parcial en y, si

es distinta de cero entonces el plano será de la forma \[y=f(x,z)\], la segunda condicion te dice cual sera las variables independientes y cual la dependiente

3) el gradiente de f debe ser continua en A \[\nabla f(A)=(f'_x(A),f'_y(A))\] te define, para la aproximacion que puse, justamente las componentes del vector normal (en x e y), si alguna de

ellas no fuese continua entonces no podes definir el plano de la manera que lo hice... lo entendes ???

Otra forma mas "rapida" es calcular directamente el gradiente de la funcion en el punto y definir el plano tangente de la manera convencional, por ejemplo si tengo la ecuacion de forma implicita

\[xy-e^{z-x}-\ln z=0 \] y te piden la aproximacion en (0,99,1,01),

Tomemos el punto A=(1,1)

primero calculo el punto A'(1,1,z), reemplazando el valor del punto A en la ecuacion, obtenes el punto A'(1,1,1)

defino

\[\underbrace{xy-e^{z-x}-\ln z}_{F(x,y,z)}=0\]

entonces calculo el gradiente de F

\[\nabla F(x,y,z)=\left(y+e^{z-x},x,-e^{z-x}-\frac{1}{z}\right) \]

luego

\[\nabla F(1,1,1)=\left(2,1,-2\right)\]

tengo un punto, y la normal, puedo definir el plano tangente, como lo hacia en algebra

\[\pi: 2x-y-2z+d=0\]

evaluando en el plano el punto A'

\[\pi: 2(1)-1-2(1)+d=0\to d=1\]

finalmente el plano tangente pedido es

\[\pi: 2x-y-2z+1=0\]

si despejo z entonces

\[z=f(x,y)=x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\]

solo basta evaluar

\[f(0,99;1,01)\]

para concluir el ejercicio...usando el teorema o el gradiente, tenes que llegar a lo mismo (ejercicio 8 de la guia tp 6 )

Lo entendes ???

soy un duro... sigo sin entender lo del teorema de coggi tal vez sí me haces un ejemplo lo vea mejor

luego te contesto, estoy un poco ocupado ahora

dale