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cuando esté resuelto favor de agregar a http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-ana...de-la-guia

(17-09-2012 17:54)Taylor escribió:  a)Demuestre que es continua en el origen ; b) ¿Puede analizar el limite acercandose al origen por la linea de nivel 1 de \[f\]?


\[ f(x,y) =\frac{x^3}{x^2 + y^2} \] si \[(x,y) \] es distinto de \[ (0,0) \]

y


\[ f(0,0)= 0 \]

Tenes que hacerlo por definición, cuando te piden que demuestres, la continuidad no te queda otra que ir a la definición , considera que podes reescribir la funcion como
\[ f(x,y)=x\cdot \frac{x^2}{x^2 + y^2} \]

sabes que

\[x^2\leq x^2+y^2\rightarrow \frac{x^2}{x^2+y^2}\leq 1\]

con ese dato intenta ahora aplicar la definición, partiendo de

\[|f(x,y)-L|=|f(x,y)-0|=.....\]

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El otro lo pienso un toque

Partiendo del razonamiento de saga:
podes reescribir la funcion como
\[ f(x,y)=x\cdot \frac{x^2}{x^2 + y^2} \]

sabes que

\[0 \leq x^2\leq x^2+y^2\rightarrow 0 \leq \frac{x^2}{x^2+y^2}\leq 1\]

creo que se puede afirmar que

\[\frac{x^2}{x^2+y^2}\]

es acotada entonces con al funcion del principio:

\[ f(x,y)=x\cdot \frac{x^2}{x^2 + y^2} \]

seria infinitesimo por acotada que es igual a 0.

Creo que con esto no hace falta ir por definicion.

En la cursada me lo explicaron como lo hizo Javier, después para acercarse por la línea de nivel 1 tenés que plantear f(x,y)=1, luego despejar y, entonces vas a ver que en el dominio de f(x,y), el (0,0) es punto aislado por lo que no podés analizar el límite de esa manera, claro si se pudiera llegarías a la conclusión de que no es contínua, lo que es falso.

podes decir que
y^2 > 0, luego lo sacas al carajo y decis que x^2/x^2 = 1, luego x*1=0 si x tiende a 0.

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podes decir que
y^2 > 0, luego lo sacas al carajo y decis que x^2/x^2 = 1, luego x*1=0 si x tiende a 0.

Por lo general , cuando yo la curse , cuando me pedian que DEMUESTRE algo , tenia que recurrir a las definiciones , distinto era cuando me decian ANALIZE SI algo, entonces lo hacia por otras herramientas o "formulas" igualmente utilizando la definicion no es dificil demostrar la continuidad de f en el origen , desde donde lo deje basta decir que todo ese cociente es menor o igual a uno por lo tanto

\[|x|<\delta<\epsilon\]

quedando probada la continuidad de f