Determine el radio de un recipiente esferico que tenga igual capacidad que un tambor cilindrico de 24pi cm^2 de area total. Se sabe que el diametro del cilindro es igual a su altura.
Gracias por su atención

Holas, a ver que podemos hacer...

Segun el enunciado:

Volumen de la esfera = Volumen del cilindo

Entonces...

(4 pi Re³)/3 = Rc² pi A

Donde Re es el radio de la esfera, Rc es el radio del cilindro y A es la altura del cilindro. Las formulas son las de volumen de las figuras.

Aca el problema es que los datos te los dan medio "escondidos" ya que te dan el area del cilindro (si te dieran el volumen directamente seria todo mas facil jaja) pero bue..

El area del cilindro es igual al area de las figuras que lo conforman (lo consideramos un cilindro con tapa). Si lo pensamos, un cilindro esta compuesto por dos circulos (la base y la tapa, que tienen la misma area, por lo que simplemente multiplicaremos por dos el area de cualquiera de ellas) y un rectangulo (la "pared"), por lo que el area total es la suma de las areas de dichas figuras.
Lo que molesta es el rectangulo, cuya altura es la del cilindro, pero la base si nos fijamos bien, es el perimetro del circulo base...

Entonces:

Area cilindro = Area de la base x 2 + Area de la pared

Area cilindro = Area de la base x 2+ (Perimetro del circulo) (Altura del cilindro)

Ac = 2 pi Rc² + (2 Rc pi) (A)

Pero nos dicen que la altura del cilindro es igual al diametro, y a su vez el diametro es el doble del radio, por lo tanto reemplazamos para tener una sola incognita y poder resolver.

Ac = 2 pi Rc² + (2 Rc pi ) (2 Rc)

Operando...

Ac = 2 pi Rc² + 4 Rc² pi

Ac = 6 pi Rc²

Y ahora reemplazamos el valor del area del cilindro, que ya lo conocemos por el enunciado

24 pi cm² = 6 pi Rc²

Dividimos ambos miembros por pi

24 cm² = 6 Rc²

Dividimos ambos miembros por 6

4 cm² = Rc²

Aplicamos raiz cuadrada a ambos miembros (el valor negativo lo ignoramos por tratarse de una medida)

2 cm = Rc

Bueno, con este valioso dato podemos pasar a la igualdad del principio (la de los dos volumenes) y calcular por fin el radio de la esfera.

Entonces:

(4 pi Re³)/3 = Rc² pi A

A ya habiamos dicho que era igual a 2 Rc, reemplazamos

(4 pi Re³)/3 = Rc² pi 2 Rc

Operamos

(4 pi Re³)/3 =2 Rc³ pi

multiplicamos ambos miembros por 3 para sacarnos de encima la fraccion

4 pi Re³ = 6 Rc³ pi

Dividimos ambos miembros por pi

4 Re³ = 6 Rc³

Ahora reemplazamos el valor de Rc que calculamos anteriormente)

4 Re³ = 6 (2 cm)³

Operamos:

4 Re³ = 48 cm³

Dividimos ambos miembros por 4

Re³ = 12 cm³

Y finalmente aplicamos raiz cubica a ambos miembros

Re = (Raizcubica de 12) cm

Bueno, el numero del final es bastante feo, pero bueno... a veces los resultados son asi

Saludos y espero que te sea util.