hola buenos dias a todos!
necesito ayuda con este ejercicio no entiendo de donde saca las formulas!    

es para averiguar el radio de la semiesfera se usó pitágoras ya q conoces el radio del líquido sombreado y la altura es igual al radio de la semiesfera claro en el dibujo esta medio deformado, no se nota mucho pero, es lo mismo decir q también es su hipotenusa. Imagínate una esfera simétrica y cortalo a la mitad y de alli sale la otra formula q es de la esfera solo q dividido por 2 o multiplicado por 1/2 que es lo mismo.

El volumen de la esfera esta dado por esa formula:

\[V=(4/3) \pi r^3\]

Por eso como es una semiesfera, utiliza

\[V=1/2(4/3) \pi r^3\]

Como la esfera no esta llena de líquido hasta la mitad, el radio que se obtiene de la superficie no es el radio de la esfera, sino el radio que el liquido forma a una determinada altura.

Pero vos para calcular el volumen necesitas el radio verdadero del recipiente, o sea, el de la esfera propiamente dicha.

Entonces primero obtenemos el radio del área sombreada, que es fácilmente calculable con las formulas que tenes ahí.

Luego, este radio calculado depende de la altura a la que esta el liquido, entonces si tenemos liquido hasta la mitad será.

\[(R-H)^2+(radio del area en la sup)^2=R^2\]

Donde la H es la altura hasta el fondo, y la R el radio de la esfera

Si te fijas cuando estas en el medio, se anula el primer término, en cambio cuando estas mas abajo, se suma con el segundo.

Utilizando relaciones trigonométricas sale.

La distancia del R-H es un cateto, y el radio en la superficie es el otro, como están elevados al cuadrado te dan el cuadrado de la hipotenusa que es R ya que en cualquier superficie esférica el R se mantiene constante.