Hola gente, la verdad me estoy volviendo loco con este ejercicio, ya lo intente hacer como 6 veces y no me da los resultados de la guía, alguien me puede confirmar si estan correctos ? y si es tan amable como se resuelve?? por lo menos que E1, E2, E3 se suma o resta con cual para llegar a el resultado, desde ya gracias.

Holas, si, el resultado es correcto, solo que la resolucion asi como esta se complica un poco...

Para facilitar la resolucion, vamos a reescribir el ejercicio de esta manera:

z + y + 2x = 1
0z + y + kx = -2
3z - y + 2x = 3

Como veras, solo invertí el orden de las ecuaciones, asi como el orden de los terminos. Esto es así para que el termino que contiene a K no intervenga en la "triangulación", y para contar con el 1 en el extremo superior izquierdo, que hace todo mucho mas sencillo. Vamos a resolver:

Z Y X R
1 1 2 1
0 1 k -2
3 -1 2 3

Ahora triangulamos sin problemas. Multiplicamos E1 por 3 y la restamos por E3, esta sera la nueva E3

Z Y X R
1 1 2 1
0 1 k -2
0 4 4 0

Y ahora multiplicamos E2 por 4 y la restamos con E3, esa sera la nueva E3

Z Y X R
1 1 2 1
0 1 k -2
0 0 4k-4 -8

Y con eso volvemos a armar el sistema:

z + y + 2x = 1
y + kx = -2
(4k-4) x = -8

Y ahi por fin lo vemos. Si k=1 el coeficiente de x seria 0, por lo que quedaria 0=-8 lo cual no es coherente, asi que si k=1 el sistema es incompatible.

No hay forma que el sistema sea compatible indeterminado, ya que la columna de restos no depende de k, ni ninguno de ellos es 0 (recordemos que para que el sistema sea compatible indeterminado, una ecuacion entera debe quedar 0=0, es decir, cumplirse siempre)

Por lo que para todos los demas valores de K, el sistema es compatible determinado.

Saludos y espero que te haya sido util.