(03-11-2011 01:49)gonnza escribió:  Pero eso lo vemos en analisis matematico..
es lo mismo que una integral impropia convergente, pero en \[R^3\](volumen finito)

el título dice cosas interesantes, no es interesante una figura que podés rellenarla con pintura pero no podés pintarla por fuera?

jajaj bueno, pero es algo que ya vemos en la facultad, no deberia "sorprenderte"


es como en \[R^2\], tenes un area finita con un perimetro infinito, si la integral impropia converge

Es algo que ya ves en primer año, solo que no lo pensaste nunca de esa manera como "la lleno de pintura por dentro, pero por fuera no"

Y para un matemático debe ser aburridísimo,ya que todo eso lo ve en la facu también .

Muy groso lo del lapiz demo.Existe algo así en librerías de aca?

Ni idea, pero por ahí alguien ve la imagen y se prende a hacerlo

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Volviendo un poco a la matemática, algo de teoría de números:

Yo tengo una lista infinita de numeros reales entre 0 y 1 (con infinitos decimales cada uno):

.641392652...
.33333333...
.182818288...
.218884828...
.212268562...
.595132185...
...

Si tomo los dígitos de la diagonal y les resto 1, me queda el número: .521751... (también con infinitos decimales, todos sacados de la diagonal)

Ese número no va a existir en la lista, porque el primer dígito es diferente al primer dígito del primer número, el segundo es diferente al segunto del segundo, etc, etc, etc.

"Pero si tenes una lista infinita de todos los números entre 0 y 1, como la cantidad de números reales entre 0 y 1 también es infinita, deberían entrar en la lista, porque también es infinita, ¿no?"

No. El método de arriba siempre te va a dar un número que no existe en la lista.

En otras palabras, siempre va a existir un número que no existe en una lista infinita de números con infinitos decimales. Ninguna lista infinita va a poder ser completa.

tomatelás, demo...

¿Qué? ¡es el argumento de diagonalidad de Cantor!

Hizo mierda a la fé en la matemática, el tipo se volvió loco, entraba y salía de asilos. Impulsó a Russel y a Hilbert en su cruzada para devolver la "pureza" a la matemática, es la base del primer teorema de incompletitud de Godel y Turing inventó el concepto de maquina de turing para solucionar un problema derivado.

El impacto filosófico de esto fue inmenso.

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(07-11-2011 21:27)Dem0 escribió:  

Posta el argumento de cantor es genial.Igual creo que te falto aclara que lo que haces es tratar de ponerlo en correspondencia con el conjunto de los naturales,lo cual es imposible .Lo que jamás me quedo claro es si la prueba se corta ahí o el tipo hace un paso más para formalizar el resultado .

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Esto es lo primero que me hizo interesarme SERIAMENTE por algebra y geometría,como evertir (dar vuelta) una esfera. Incluye un video en inglés de 20 minutos con explicación para lelos.

http://gaussianos.com/la-paradoja-de-sma...na-esfera/

Basicamente la esfera (los topologos son todos putos y le dicen 2-esfera a la esfera común en tres dimensiones,dios sabe porque) se puede "dar vuelta" es decir hacer que su cara interior quede del lado de afuera y viceversa.La construcción es fumadísima,pero matemáticamente correcta.

Claro que esto solo se puede hacer con una esfera matemática y no física ya que se tiene que poder auto-intersecar.

http://tauday.com/

Dice que pi esta "mal", en el sentido de que tendriamos que haber definido pi en relacion al radio de un circulo y no a su diametro. Definiendo \[\tau = 2\pi\] nos quedan cosas mas "hermosas" como que \[\frac{\tau}{2}\] representa medio giro de un circulo, \[\tau\] un giro entero, \[e^{i\tau} = 1\], etc.

Genial la DEMOstracion

muy bueno lo de la esfera y lo de pi.


lo de pi es obvio, en todos lados aparece 2pi, además no tiene sentido dividir el perímetro por el diámetro, debería dividirse opr el radio.

Pero en un monton de lados aparece "pi" a secas, so, es lo mismo (!)

(08-11-2011 16:42)Dem0 escribió:  Ni idea, pero por ahí alguien ve la imagen y se prende a hacerlo

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Volviendo un poco a la matemática, algo de teoría de números:

Yo tengo una lista infinita de numeros reales entre 0 y 1 (con infinitos decimales cada uno):

.641392652...
.33333333...
.182818288...
.218884828...
.212268562...
.595132185...
...

Si tomo los dígitos de la diagonal y les resto 1, me queda el número: .521751... (también con infinitos decimales, todos sacados de la diagonal)

Ese número no va a existir en la lista, porque el primer dígito es diferente al primer dígito del primer número, el segundo es diferente al segunto del segundo, etc, etc, etc.

"Pero si tenes una lista infinita de todos los números entre 0 y 1, como la cantidad de números reales entre 0 y 1 también es infinita, deberían entrar en la lista, porque también es infinita, ¿no?"

No. El método de arriba siempre te va a dar un número que no existe en la lista.

En otras palabras, siempre va a existir un número que no existe en una lista infinita de números con infinitos decimales. Ninguna lista infinita va a poder ser completa.

NOTA: aclaro que si bien había leído someramente sobre el argumento diagonal de Cantor, nunca me había tomado el trabajo de leer el razonamiento concreto que implica. Puede que patine en algún detalle.

En sí lo que establece Cantor es la diferencia en la cardinalidad (el "tamaño") entre los conjuntos infinitos contables (como \[\mathbb{N}\] o \[\mathbb{Z}\]) e incontables (como \[\mathbb{R}\] o \[\mathbb{C}\]). El hecho es que, dada cualesquier colección infinita contable (e.d. discreta) de secuencias de dígitos, ésta no admite una correspondencia uno a uno con una colección infinita incontable análoga (e.d. continua), dado que el procedimiento de construcción que propone el argumento, permite obtener siempre una secuencia de dígitos adicional en el primer caso. De hecho, partiendo de la colección contable arbitraria inicial, uno puede construir una secuencia adicional usando el argumento, añadirla a la lista e iterar el proceso indefinidamente, sin nunca obtener una lista "completa" en el sentido que el argumento resulte inválido (e.d. un conjunto continuo).

El hecho de que las dos "infinitudes" (discreta y continua) tengan una cardinalidad diferente, siendo mayor la del segundo caso por sobre la del primero, implica que hay "infinitos mayores y menores". La Hipótesis del Continuo (propuesta por Cantor en 1874 y levantada por Hilbert en su lista de problemas de 1900) que afirma que:

"no existe conjunto alguno cuya cardinalidad resulte intermedia entre la de los números naturales y la de los números reales" (e.d. básicamente, entre conjuntos discretos y continuos).

Esta hipótesis fue probada independiente del sistema formal sobre el cual se construyen las matemáticas estándar que conocemos y amamos (es decir, la lógica de primer orden equipada con lista de axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o ZFC) así es que no es "ni verdadera ni falsa" en el sentido de la semántica que asignamos a las matemáticas tradicionales: uno puede aceptarla como axioma y extender el sistema formal, o aceptar su negación como axioma (análogamente al caso de las geometrías no-euclideanas que alguien andaba comentando, con la sustitución del postulado del paralelismo de rectas, que fue probado independiente del resto de la lista de axiomas; con lo cual uno es libre de expandir la geometría a los casos citados sin caer en contradicción, suponiendo que el sistema original fuese consistente).