Hola tengo unas dudas con relaciones son:

1) No me queda claro como averiguo las particiones de un conjunto, hay una regla que seguir? Me dan un ejemplo? Se que todas las particiones forman el propio conjunto.

2) Como averiguo la cerradura transitiva hay alguna formula para hallarlo mas rapido??

3) Me darian un ejemplo de relacion de accesibilidad?

2) Para la clausura transitiva se puede saber con la matriz cuadrada, aunque es medio bodrio

Ejemplo: Imaginate el siguiente conjunto A,

\[A = \left \{ 1, 2, 3, 4 \right \} / xRy \leftrightarrow x+y\geq 6\]

Entonces,

\[R = \left \{ \left ( 2,4 \right ) \left ( 3,3 \right )\left ( 3,4 \right )\left ( 4,2 \right ) \left ( 4,3 \right )\left ( 4,4 \right ) \right \}\]

Esta relación no es reflexiva, es simétrica y no es transitiva (2R4 y 4R3, pero 2 no se relaciona con 3, ya que 2+3<6).

Primer paso, sacás la matriz de la relación:

\[M_{R}=\begin{pmatrix} & (1) & (2) & (3) & (4)\\ (1) & 0 & 0 & 0 & 0\\ (2) & 0 & 0 & 0 & 1\\ (3) & 0 & 0 & 1 & 1\\ (4) & 0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\]

Segundo paso, hacer la matriz cuadrada booleana. Para calcularla haces como si fuese un producto de matrices pero en vez de usar * y +, usás conjunción y disyunción respectivamente.

\[M_{R}^{2}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\]

Podemos ver que:

La relación no es transitiva (aunque ya lo sabíamos), ya que \[M_{R}\neq M_{R}^{2}\]
Si la matriz cuadrada queda igual, entonces sí es transitiva.

Para la clausura transitiva te fijas en la matriz cuadrada las posiciones que cambiaron de 0 a 1 y dichas relaciones forman la clausura.

En este caso son (2,2), (2,3) y (3,2).

Quedaría: \[R_{t} = R \cup \left \left \{ \left ( 2,2 \right ) \left ( 2,3 \right )\left ( 3,2 \right )\right \}\]

Este es el método que me enseñaron, ni idea si hay otro.

Partición es sencillo, por ejemplo el conjunto A={1,2,3,4,5}

Particion de A = {{1,2},{3,4},{5}}

las condiciones para que se tiene que cumplir para que sea particion son:

-Ningun elemento de la particion son vacios por ej no puedo tener Particion de A = {{1,2},{3,4},{5}, {vacio}}, por más que el vacio siempre este en todos los conjuntos.

-La interseccion entre sus elementos da vacio (osea que no haya nada repetido), no podes tener {{1,2,3},{3,4,5}} ya que {1,2,3} ^ {3,4,5} = 3.

-La union de todos los elementos da el conjunto.

Hay muchas particiones por ejemplo otra particion de A podria ser {{1,2,3,4},{5}}.

Las otras dos cosas no tengo ni idea, creo que nunca la tomaron en parciales, y la vi muy por arriba en la cursada, se toma en los finales?

(26-07-2014 19:48)gan escribió:  2) Para la clausura transitiva se puede saber con la matriz cuadrada, aunque es medio bodrio

Ejemplo: Imaginate el siguiente conjunto A,

\[A = \left \{ 1, 2, 3, 4 \right \} / xRy \leftrightarrow x+y\geq 6\]

Entonces,

\[R = \left \{ \left ( 2,4 \right ) \left ( 3,3 \right )\left ( 3,4 \right )\left ( 4,2 \right ) \left ( 4,3 \right )\left ( 4,4 \right ) \right \}\]

Esta relación no es reflexiva, es simétrica y no es transitiva (2R4 y 4R3, pero 2 no se relaciona con 3, ya que 2+3<6).

Primer paso, sacás la matriz de la relación:

\[M_{R}=\begin{pmatrix} & (1) & (2) & (3) & (4)\\ (1) & 0 & 0 & 0 & 0\\ (2) & 0 & 0 & 0 & 1\\ (3) & 0 & 0 & 1 & 1\\ (4) & 0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\]

Segundo paso, hacer la matriz cuadrada booleana. Para calcularla haces como si fuese un producto de matrices pero en vez de usar * y +, usás conjunción y disyunción respectivamente.

\[M_{R}^{2}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\]

Podemos ver que:

La relación no es transitiva (aunque ya lo sabíamos), ya que \[M_{R}\neq M_{R}^{2}\]
Si la matriz cuadrada queda igual, entonces sí es transitiva.

Para la clausura transitiva te fijas en la matriz cuadrada las posiciones que cambiaron de 0 a 1 y dichas relaciones forman la clausura.

En este caso son (2,2), (2,3) y (3,2).

Quedaría: \[R_{t} = R \cup \left \left \{ \left ( 2,2 \right ) \left ( 2,3 \right )\left ( 3,2 \right )\right \}\]

Este es el método que me enseñaron, ni idea si hay otro.

Lo hice con otros y creo que no es hasta cuadrado, parece ser que es hasta que sea elevado a la n, siendo n la cantidad de elementos que tenga.

Matriz de la relación al cuadrado quise decir.

Con cual intentaste y no funcionó?