Compañeros buenas tardes. Tengo una duda en varios ejercicios de cálculo de áreas pero quería saber si me pueden dar una mano con el ejercicio 20.


Hallar el área de la región limitada por el eje Y, la recta de ecuación y=8 y el gráfico de la función definida por:

\[\frac{1}{2}* (x-3)^{3} + 4\]

Yo hice el ejercicio de mil maneras pero no llego al resultado esperado.


Lo que hice fue graficar y luego calcular la integral, aplicar Barrow, pero algo debo estar haciendo mal.


Desde ya, muchas gracias!!!

Primero que nada haces el grafico, luego de hacer el grafico, hallas los puntos de intersección, que es en x=5 y x =1

Después haces las integrales que son:


\[\int_{1}^{5}8-\frac{1}{2}(x-3)^{3}+4 \] + \[ \int_{0}^{1}8\]

Resolviendo ambas integrales llegamos a que el Area es 24

Seguramente estes dibujando mal, deja una foto de tu gráfico y tus intersecciones a ver si encontramos el error.
Saludos.

No es necesario el dibujo, lo podes deducir analiticamente, el recinto es

\[R=\left \{ x\in R/ x=0\quad y=8\quad y=\frac{1}{2}(x-3)^3+4 \right \}\]

la intersección nos da efectivamente que \[x\in[0,5]\]

para saber cual es la función que tengo que restar, supongo

\[\frac{1}{2}(x-3)^3+4 {\color{Red} >}8\mbox{ si } x\in[0,5]\]

analiticamente haciendo cuentas obtengo

\[x>5\]

entonces es falso que en ese intervalo la función sea mayor a la función constante, tomando cualquier valor en dicho intervalo esto se verifica, entonces la integral de área será

\[A=\int_{0}^{5}8-\left ( \frac{1}{2}(x-3)^3+4 \right )dx=\frac{225}{8}\]

Maartin escribió:Primero que nada haces el grafico, luego de hacer el grafico, hallas los puntos de intersección, que es en x=5 y x =1

Después haces las integrales que son:


\[\int_{1}^{5}8-\frac{1}{2}(x-3)^{3}+4 \] + \[ \int_{0}^{1}8\]

Resolviendo ambas integrales llegamos a que el Area es 24

¿porque dividis la integral en 2? el dibujo de la función es

   

Gente pregunta como sacan que 0 es interseccion . Yo saque el 5 igualando las 2 funciones y me da el resultado 5.
Como hacen con el 0??

Fijate que el enunciado te exige cuando te dice: "el eje y" el eje "y" es el punto x=0.

Saludos.

Muchas gracias. El gráfico lo hice bien, pero yo lo que hice fue una sola integral desde 0 a 5 siendo y = 8 mayor que la función dada y nunca llego al resultado.
Lo único que no me queda claro es porque se divide a la integral en dos intervalos entre [0,1] y [1,5]. Si me pueden aclara esta duda estaría muy agradecido.


Muchas gracias!!

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Viendo la resolución de Saga hice bien, quizá el tema sea la integración.


Muchas gracias.

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O quizá el tema está en armar una única integral y dividirla en dos pero debería dar lo mismo?

(08-10-2012 02:58)bareel escribió:  Muchas gracias. El gráfico lo hice bien, pero yo lo que hice fue una sola integral desde 0 a 5 siendo y = 8 mayor que la función dada y nunca llego al resultado.
Lo único que no me queda claro es porque se divide a la integral en dos intervalos entre [0,1] y [1,5]. Si me pueden aclara esta duda estaría muy agradecido.


Muchas gracias!!

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Viendo la resolución de Saga hice bien, quizá el tema sea la integración.


Muchas gracias.

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O quizá el tema está en armar una única integral y dividirla en dos pero debería dar lo mismo?

Hola no hace falta dividir fijate que en el intervalo [0;5] el techo del área sobreado siempre es y=8 y el piso la función larga.


   

Saludos.

Perfecto. Lo planteé así pero me dio cualquier cosa.
Cuando me refiero a dividir es por un lado hacer la integral de y = 8 en [0;5] y la integral de f(x) en [0;5]. Es correcto eso?

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Habría que dividir en el caso que sea una única función sino me daría la diferencia de áreas cierto?

Hola, tenes que dividir cuando cambia la función (techo/piso) Fijate mira te hice un ejemplo para que veas un caso en el cual cambia el techo de lo sombreado por lo que tenes que dividir..

   


Te quedaría: \[\int_{-1}^{0} x^3-(x^2+2x))dx+\int_{0}^{2}x^2+2x-(x^3)dx\]

Fijate que ahí divido el recinto porque entre [-1;0] X^3 esta por arriba, en cambio entre [0;2] esta por debajo..

Tira un "vector al norte" sobre tus dos partes del dibujo y fijate va de limite inferior a limite superior si ese vector lo llevas del -inf al +inf el vector primero agarra una función como limite inferior y después otra como cambia 2 veces el limite inferior tenes dos integrales...

Saludos

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En el caso de una única función no se puede calcular, siempre tiene que ser contra ejes o algo porque si no no encerrarías un área.
Siempre tienen que aclararte dos funciones entre las cuales calcular el área comprendida o te tienen que decír: calcule el área de: x^2+2x+2=0 entre tal y tal valor de x, pero fijate que siempre se encierra un área determinado.

PD: Seguí preguntando hasta que te pueda/podamos desagotar todas tus dudas, entiendo que seguramente no este comprendiendo tu pregunta y tal vez todavía no te estoy contestando lo que vos necesitas que te conteste pero si esta no era la respuesta a tu pregunta insistiendo vamos a encontrarla

(08-10-2012 03:24)bareel escribió:  Perfecto. Lo planteé así pero me dio cualquier cosa.

¿ Cuanto te da el resultado en la guia ?

Cita:Cuando me refiero a dividir es por un lado hacer la integral de y = 8 en [0;5] y la integral de f(x) en [0;5]. Es correcto eso?

No es correcto, ya que si querés hacer eso tenes solo el "techo" en una y te falta el "piso" y viceversa en la otra, el recinto siempre debe estar acotado

Cita:Habría que dividir en el caso que sea una única función sino me daría la diferencia de áreas cierto?

no entendi muy bien tu pregunta, fijate si lo que te explico fir mas arriba es lo que necesitas

Muchas gracias por tomarse el tiempo.

Planteo la integral tal como ustedes me dicen (ya que eso, lo tengo claro), pero el resultado de la guía es 225/8
mientras que a mí me da 58.

La integral está planteada exactamente igual que ustedes.

Lo que hago es abrir la integral de la suma en dos de f(x). y luego por Barrow, evaluarla en 5, luego en 0.

Pero no llego a ese resultado.

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Me quedaría así:


8x (evaluada en 5 y 0) + 1/4[(x-3)^4] (evaluada en 5 y 0) + 4x (evaluada en 5 y 0).

Abrí la integral de f(x) porque me pareció más comodo.

Disculpen la incomodidad de escritura, es que no estoy canchero con el Latex.

Saludos.

(10-10-2012 08:42)bareel escribió:  Muchas gracias por tomarse el tiempo.

Planteo la integral tal como ustedes me dicen (ya que eso, lo tengo claro), pero el resultado de la guía es 225/8

Esta correcto ese resultado

Cita:8x (evaluada en 5 y 0) + 1/4[(x-3)^4] (evaluada en 5 y 0) + 4x (evaluada en 5 y 0).

lo que resalte en negrita esta mal integrado la integral de

\[\int\frac{1}{2}(x-3)^3dx=\frac{1}{8}(x-3)^4\]

y ademas no estas tomando en cuenta el signo negativo