Hola a todos, estoy haciendo los ejercicios de subespacios de la guia complementaria de ejercicios de algebra y me quede trabado con lo siguiente:

30) Sean los subespacios de P2 :

\[S = gen \{\ x+x^{2} , -1+x \} \; \; \; W=\{\ p(x)=a+bx+cx^{2} / a=0 \wedge b=c\}\]

a)Halle S + W , S ^ W, bases y dimensión de cada operación. Indique, justificando la respuesta si la suma es directa.

si S es un subespacio de P2 no deberia tener 3 vectores?. Para sacar la base de W hice lo siguiente pero no se si esta bien:

a + bx + cx^2 = ax^2 + bx + c ---> W: {p(x) = ax^2 + bx + c / c = 0 ^ b = a }

(a , b ,c) = (b , b , 0) = b (1,1,0) ----> W: gen {(1,1,0)}

y hasta ahi llegue porque no entiendo que S sea subespacio de P2 cuando tiene solo dos vectores. Gracias

Si S es un subespacio de p2 tiene que estar definido por 1 o 2 vectores, si esta definido por 3 vectores seria todo el espacio vectorial.
S= {(0,1,1) (-1,1,0)}
w={(0,1,1)}

Como llegaste a esos vectores?

En S te dicen que (x+x^2) es un vector osea el (0,1,1) y despues te dicen (-1+x) osea el (-1,1,0)... en la catedra de la utn se toma siempre a el polinomio como (a,bx,cx^2).

(10-08-2013 15:13)Elmats escribió:  en la catedra de la utn se toma siempre a el polinomio como (a,bx,cx^2).

No es que se "toma" , existe un isomorfismo entre los polinomios de grado 2 y los vectores de R3, hay una demostracion para eso que no viene al caso... por ese motivo se asocia la base de p2

\[(1,x,x^2)\] a la base canonica de R3.

Revisa bien las cuentas que esa suma no es directa

Si no me confundi sacando los vectores(capaz si, soy bastante distraído), creo que no tiene que ser directa. El determinante es una matriz triangular superior osea es la multiplicación de la diagonal y da -1, por lo tanto son LI los vectores.
Ese isomorfismo no lo sabia, yo pense que era una convención el tomar (1,x,x^2) y no (x^2,x,1)

(10-08-2013 14:26)Feddyn escribió:  30) Sean los subespacios de P2 :

\[S = gen \{\ x+x^{2} , -1+x \} \; \; \; W=\{\ p(x)=a+bx+cx^{2} / a=0 \wedge b=c\}\]

a)Halle S + W , S ^ W, bases y dimensión de cada operación. Indique, justificando la respuesta si la suma es directa.

si b=c y ademas a=0 entonces

\[W=\{\ p(x)=a+bx+cx^{2}\}\to W=gen\{x+x^2\}\]

es claro que la suma no es directa, se ve ??? basta aplicar el teorema de las dimensiones y asunto resuelto

Ah ahora me doy cuenta que soy un forro que escribió mal el vector arriba xd, tenes razón, no es directa, ahora corrijo arriba el vector para no crear confusiones.

No tenia idea de eso. Yo hice algo totalmente diferente. No se si los vectores me habran dado bien, pero los numeros me daban.

(10-08-2013 17:08)Feddyn escribió:  No tenia idea de eso. Yo hice algo totalmente diferente. No se si los vectores me habran dado bien, pero los numeros me daban.

pero quedo resuelta tu inquietud.. ?? o te confundimos mas ??

creo que estoy un poco confundido jaja, eso solo se puede hacer con bases de P2?

Yo tengo un problema, y es que no veo el por qué la suma no es directa... La suma de las dimensiones no debería ser 3 en R3?
La dimensión de S es 2, y la de W es 1... Algo me estoy perdiendo.

(11-08-2013 11:18)Feddyn escribió:  creo que estoy un poco confundido jaja, eso solo se puede hacer con bases de P2?

Tambien con las de P3 P4... Pn

P3 es isomorfo con R4

P4 con R5...... y asi sucesivamente

(13-08-2013 10:14)Salvor escribió:  Yo tengo un problema, y es que no veo el por qué la suma no es directa... La suma de las dimensiones no debería ser 3 en R3?
La dimensión de S es 2, y la de W es 1... Algo me estoy perdiendo.

observa que W esta incluido en S por lo tanto la interseccion es distinta de 0, por ende la suma no es directa, ya que que por definicion la intersección debe ser 0

la dimension de \[dim(S+W)\leq 3\] no necesariamente debe ser 3, en el ejercicio para que se cumpla el teorema

\[\underbrace{dim(S+W)}_{2}=\underbrace{dim S}_2+\underbrace{dim W}_1-\underbrace{dim(S\cap W )}_1\]

como dije antes, la interseccion es distinta de 0, por lo tanto la suma no es directa.

Tenía el concepto de la suma de las dimensiones mal, entonces.
Ahora si lo veo:
\[B_{w}=\{(0,1,1)\}\ y\ B_{s}=\{(0,1,1),(-1,1,0)\}\]
\[W\subset B \rightarrow B\cap W\neq \o \]

Lo dejé bonito, porque me gusta el Latex nada más

Gracias Saga!