Hola: Se me pide analizar si dos grupos son isomorfos:

Lo que tengo que hacer es:

Probar si los dos grupos son abelianos o no, sacar los subgrupos para cada uno y finalmente si tienen estructura similar definir la función biyectiva.

Pregunta: Como defino la funcion biyectiva? Osea, ¿Que tengo que poner? ¿f1ºf2? y así?....


La parte D es la que no se hacer...

Perdon, la imagen quedó chueca.

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queda algo así creo. Son conmutativos por la simetría con la diagonal principal y son isomorfos por lo que escribo en el adjunto.

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falta definir la funcion F:

f: H -> Z4

Tenes que fijarte que ambos grupos tengan la misma cantidad de elementos, en este caso 4.
Que tengan la misma estructura, en este caso que sean Grupos Abeleanos.
Que ambos sean ciclicos/no ciclicos, en este caso ambos son ciclicos.
Que tengan la misma cantidad de generadores, en este caso 2.
Que tengan la misma cantidad de subgrupos, en este caso 4.
Que para cada subgrupo del grupo A, se encuentre un subgrupo del mismo indice en el grupo B.
Como son grupos finitos, hace la tabla de cada uno (como hiciste esta bien).
Luego hace una tabla con elementos de nombre tipo x,y,z,t. Corresponde a cada elemento de los grupos, con uno de los x,y,z,t
*| x y z t
x| x y z t
y| y z t x
z| z t x y
t| t x y z

Con eso creo que basta, si lo queres completar un poco mas podrias hacer:
$$f(1')=f(1)=0=0'$$
$$f(4')=f(8)=3=1'$$
$$f(5')=f(5)=2=2'$$
$$f(8')=f(4)=1=3'$$
Asi demostras que para cada elemento del primer grupo, existe un elemento del segundo y que coorresponden los simetricos.

Por ultimo te digo que, hasta la tabla es necesario que lo pruebes en el examen, lo otro es como para asegurarte de que no te pueden venir con ningun pero.