Supongamos que
\[\bigtriangledown f(x,y,z)= 2xye^{x^2} \overrightarrow{i} +ze^{x^2} \overrightarrow{j} + ye^{x^2} \overrightarrow{k} \]

si f(0,0,0) =5 , hallar f(1,1,2)

GRAACIAS!

Mirá. Lo estuve chusmeando un poco y sólo se me ocurre resolverlo con el polinomio de Taylor de primer grado, claro... vectorial:

\[f(\overrightarrow x)=f(\overrightarrow {x_0})+\triangledown f(\overrightarrow {x_0})*(\overrightarrow x-\overrightarrow {x_0} )\]

Tenes que \[\overrightarrow {x_0}=(0, 0, 0)\] y que \[f(\overrightarrow {x_0})=5\]

Entonces en un entorno del vector nulo, se te aproxima según la ecuación anterior y te resulta entonces:

\[f(1, 1, 2)=5+\triangledown f(\overrightarrow {x_0})*(1, 1, 2)\]

Si evaluamos el vector nulo en el gradiente, te queda 0. Por lo que al final de cuenta, el valor de f(1, 1, 2)=5

Nota1: el ejercicio esta resuelto con los datos que dejaste, y a su vez con las herramientas que te dieron en las primeras clases de Análisis 2.
Nota2: esa función vectorial NO es un gradiente de un campo escalar (o función potencial), ya verás cuando avances con integrales; pero la cuestión es que de ser un gradiente de un campo escalar... sería preciso calcular el valor en el entorno del origen.

Primero, gracias! ¿Entonces para cualquier terna será f(x,y,z) =5 ? ¿Tendrá esto algún significado práctico?

Gracias

Exacto. Si te fijas en la fórmula es muy similar a la fórmula de la recta tangente en un punto que se vio en AM1; lo que hace que en un entorno del punto es aproximarte valores de la función. Esta fórmula (que ya no es recta, sino un plano tangente), hace lo mismo para toda terna alrededor del origen. Igual, como no hay mas datos se puede considerar que esta hecho, aunque esta mal (hay mucha diferencia entre el (0,0,0) y el (1,1,2)!!!). No lo sé. Fijate de hacer lo mismo con lo siguiente:

\[f(x,y,z)=x^2.e^{x^2}+zy+5\]

Evaluá en P=(0,0,0), en Q=(1,1,2) y luego en un entorno de P, usa la misma fórmula con el gradiente.

Ah, me queda mas o menos claro...Lo entiendo así:
En esta nueva función sucede lo mismo y expandiendo Taylor debería aproximarme mejor al valor, sin embargo se anulan todos los términos, salvo el de f(0,0,0), debido al producto por el gradiente en (0,0,0).

Es acertado esto?

Exacto! Tal como lo dices ni mas ni menos.

Muchísimas Gracias!