si las curvas graficas de ambas funciones poseen la misma recta asintota vertical f:R{k}-R/f(x)= 14x+50/2x+3 y g(x)= 8x+16/ax+24 determine la minima expresion de la diferencia: f(x)-g(x) . luego halle el conjunto solucion de la inecuacion f(x) - g(x) menor= g(-2)

la asintonta vertical de f se da cuando

x=-3/2

como g tiene la misma recta asintonta entonces

-3/2a+24=0 entonces a=48/3

de ahi solo lo podes seguir ?

podrias explicarme lo ultimo f(x) - g(x) = g(-2) hasta el final que da -48/13 , -3/2

Una vez que tenes el valor de a, es mas sencillo:

\[f(x)=\frac{14x+50}{2x+3}\]

\[g(x)=\frac{8x+16}{\frac{48}{3}x+24}\]

\[g(-2)=\frac{8*(-2)+16}{\frac{48}{3}*(-2)+24}\]

Y ahi podes armar la ecuación y resolverla

\[f(x)-g(x)\leq g(-2)\]

\[\frac{14x+50}{2x+3}-\frac{8x+16}{\frac{48}{3}x+24}\leq \frac{8*(-2)+16}{\frac{48}{3}*(-2)+24}\]

Lo que sentey propone ese absolutamente correcto, sin embargo al ser una fraccion el valor de a.. en cuentas se hace un bardo ... entonces si tomamos el a generico tenes una vez determinado el conjunto de existencia de esa ecuacion, tenes

\[\frac{(ax+24)(14x+50)-(8x+16)(2x+3)}{(2x+3)(ax+24)}\leq 0\]

haciendo la distributiva y agrupando terminos tenes

\[\frac{(14a-16)x^2+(50a+280)x+1152}{(2x+3)(ax+24)}\leq 0\]

recien ahora reemplazamos el valor de a y nos queda

\[\frac{208x^2+1080x+1152}{(2x+3)\left(\frac{48}{3}x+24 \right )}\leq 0\]

resolviendo el numerador

\[\frac{208\left(x+\frac{48}{13} \right )\left(x+\frac{3}{2} \right )}{(2x+3)\left(\frac{48}{3}x+24 \right )}\leq 0\]

sacando factor comun 2 en el denominador

\[\frac{208\left(x+\frac{48}{13} \right )\left(x+\frac{3}{2} \right )}{2\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(\frac{48}{3}x+24 \right )}\leq 0\]

de donde

\[\frac{104\left(x+\frac{48}{13} \right )}{\left(\frac{48}{3}x+24 \right )}\leq 0\]

inecuacion que no deberias tener problemas en resolver