a ver si me pueden ayudar aca por fa , es un final del 2011.
Determine las constantes reales k y c , el conjunto de imagen y los ceros de g.

\[g:R\rightarrow R/g(x)=\left\{\begin{array}{c} -\dfrac{1}{4}x^2-\sqrt{k}x+3k-64\mbox { si } x\leq 0 \\\\\\\\\\\\\\\\\ \dfrac{16x+c}{x+2}\mbox { si } x>0 \end{array}\right \]

Determine cos a , si se sabe que

\[arcos\left(\dfrac{6}{3.4^{x+2}-1536}\right)=a\mbox{ y } \sec a = 6.4^{x}\]

Por fa el que me lo explique que lo haga paso por paso así lo entiendo.

Edite tu mensaje, entiendo que esas son las ecuaciones que quisiste escribir, una consulta en el primer item no falta nada mas, pones determinar k y c tal que que......??? ¿¿es asi el enunciado? si falta algo mas ¿¿ podés transcribilo tal cual esta en la guia??

Aclaracion todo se encuentra dentro de g(x), es un bardo escribir esto ajaja
\[-\frac{1}{4}x^{^{2}}-\sqrt{k}x + 3k-64 , si x\leq 0\]

\[\frac{16x+c}{x+2} , si x\geq 0\]



2b) Determine cos a , si se sabe que \[\arccos \frac{6}{3por4^{x+2}-1536}= a y sec a = 6por4^{x}\]

Espero que se entienda !

2b) Determine cos (a)

De la 1ra se deduce que:

\[cos(a)=\frac{6}{3.4^{x+2}-1536}\]

y con la 2da:

\[sec (a) = 6.4^{x}\]

\[\frac{1}{cos(a)} = 6.4^{x}\]

\[cos(a) = \frac{1}{6.4^{x}}\]

Entonces:

\[\frac{6}{3.4^{x+2}-1536} = \frac{1}{6.4^{x}}\]

De ahí despejas X, y luego reemplazas en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar cos(a)...

Saludos!

Falta informacion en el 1ero, a partir de lo que posteaste no se puede deducir nada acerca de k y c (salvo que \[k \geq 0\] por estar dentro de una raiz y ser \[\mathbb{R}\] la imagen de g)

\[6.6.4^x = 3.4^{x+2} - 1536\]

\[36.4^x = 3.4^2.4^x - 1536\](propiedad de suma en el exponente)

\[36.4^x = 48.4^x - 1536\]

\[1536 = 12.4^x\] (junto terminos con \[4^x\])

\[128 = 4^x\] (divido todo por 12)

\[2^7 = (2^2)^x\] (factorizo)

\[2^7 = 2^{2x}\] (potencia de potencia -> producto en el exponente)

\[7 = 2x\] (igualdad de bases -> igualdad de exponentes)

\[x = \frac{7}{2}\]

Luego, \[\cos(a) = \frac{6}{3.4^{\frac{7}{2} + 2} - 1536} = \frac{1}{768}\]

http://imageshack.us/photo/my-images/257/foto0215x.jpg/ ahi deje una imagen del ejercicio , porque faltaba el gráfico.

Ah, ahi si tiene mas sentido...por lo que veo, el primer tramo de la funcion (parte de una parabola) tiene raiz doble, es decir que su discriminante es 0:

\[\Delta = b^2 - 4ac = (-\sqrt{k})^2 - \cancel{4}(-\frac{1}{\cancel{4}})(3k-64) = 0\]

\[k + 3k - 64 = 0\]

\[4k = 64\]

\[k = 16\]

Despues para sacar \[c\], podemos ver en el grafico que las dos ramas de la funcion tienen un punto en comun en \[x = 0\]. Podria no ser asi, pero como te dan el grafico sabemos que si. Ademas, ambas ramas de la funcion estan definidas para \[x=0\], asi que deben ser iguales a menos que la funcion este mal hecha
Si evaluamos \[g(x)\] en \[x=0\] (conociendo \[k\]), queda \[g(0) = 0 + 0 + 3.16 -64 = -16\]. Es decir, -16 es un punto del segundo tramo. Reemplazando \[x=0\] y \[g(0) = -16\] en la segunda rama, queda:

\[\frac{c}{2} = -16\]

\[c = -16.2\]

\[c = -32\]