Hola, tengo una duda con el tema del flujo entrante y saliente y el teorema de la divergencia.

Me piden calcular el flujo entrante creado por el campo vec{F}=(x^2 ,z ,y) sobre un cilindro de radio 1 y tapas en z=0 y z=1

Si lo hago por la divergencia, el flujo me sale 0, pero tengo entendido que ese es el flujo neto (entrante-saliente) . No sé como hacer para calcular sólamente el flujo entrante. ¿Debo ver cómo es ese campo en cada parte del cilindro? ¿Debo ver cómo es el flujo en la superficie lateral y en las tapas e integrar sólo la parte en la que el flujo sea entrante??

Si fuera una esfera, ¿cómo hago para ver exactamente qué parte de la esfera tiene flujo entrante y qué parte fljuo saliente¿¿

Gracias

(19-06-2013 17:09)mendeleiev escribió:  Hola, tengo una duda con el tema del flujo entrante y saliente y el teorema de la divergencia.

Me piden calcular el flujo entrante creado por el campo vec{F}=(x^2 ,z ,y) sobre un cilindro de radio 1 y tapas en z=0 y z=1

Si lo hago por la divergencia, el flujo me sale 0,

asi es, recorda que el teorema de la divergencia se define como

\[\varphi=\iint_S f nds=\iiint_V div f dV\]

o sea que la divergencia se aplica solamente a superficies cerradas que definen un volumen , en el caso de tu ejercicio efectivamente la integral da 0, calculada por divergencia

Cita:pero tengo entendido que ese es el flujo neto (entrante-saliente)

asi es

Cita:.No sé como hacer para calcular sólamente el flujo entrante. ¿Debo ver cómo es ese campo en cada parte del cilindro? ¿Debo ver cómo es el flujo en la superficie lateral y en las tapas e integrar sólo la parte en la que el flujo sea entrante??

como decis tenes que calcular el flujo por definicion para verificar el teorema de la divergencia, tenes tres flujos parciales, el de las tapas y el de la superficie lateral... la suma de todos si estan bien hechas las cuentas debe ser igual a 0, asi se verifica el teorema de la divergencia, tenes que definir

\[\varphi=\iint_{S_1} f n dS_1+\iint _{S_2} f n dS_2+\iint_{S_3} f n dS_3=\iiint_V div f dV\]

siendo las tapas S1 y S2, no te olvides que deben ser con normal saliente para verificar el teorema, y S3 el flujo sobre la superficie lateral , o sea tenes que definir

\[S_1:\left\{\begin{matrix}z=0\\ x^2+y^2\leq 1\end{matrix}\right.\]

\[S_2:\left\{\begin{matrix}z=1\\ x^2+y^2\leq 1\end{matrix}\right.\]

\[S_3:\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=1\\ 0\leq z\leq 1 \end{matrix}\right.\]

y ahi hacer los calculos necesarios

Cita:Si fuera una esfera, ¿cómo hago para ver exactamente qué parte de la esfera tiene flujo entrante y qué parte fljuo saliente¿¿

Gracias

la dividis en dos, tomando las restricciones cuando z>0 y cuando z<0 te queda el casco superior y el inferior y calculas los flujos por separado, ahora como una esfera es simetrica podes tomar solo una de las restricciones, y al flujo resultante multiplicarlo por 2 para ahorrar cuentas

Muchas gracias por la respuesta, pero hay algo que no me queda claro. En cada superficie (dos tapas y cuerpo lateral), puede existir a su vez flujo entrante y flujo saliente, por ejemplo, en la tapa de abajo, como z=0, tenemos un flujo de la forma (x^2,0,y), es decir, que cuando y<0 ,en la mitad de la circunferencia que define la tapa de abajo, el flujo será hacia abajo, es decir, saliente y cuando y>0, el flujo será entrante en la otra mitad de la circunferencia, por lo que si me piden solamente el flujo entrante, ¿¿debería tener sólo en cuenta la mitad de la circunferencia en la que el flujo sea entrante?? Si es así, en este caso el flujo puede verse fácilmente cuando es entrante y cuándo saliente, pero en otras superficies y otros campos se complicaría, por lo que no sé como se haría.

(20-06-2013 10:06)mendeleiev escribió:  Muchas gracias por la respuesta, pero hay algo que no me queda claro. En cada superficie (dos tapas y cuerpo lateral), puede existir a su vez flujo entrante y flujo saliente, por ejemplo, en la tapa de abajo, como z=0, tenemos un flujo de la forma (x^2,0,y), es decir, que cuando y<0 ,en la mitad de la circunferencia que define la tapa de abajo, el flujo será hacia abajo, es decir, saliente y cuando y>0, el flujo será entrante en la otra mitad de la circunferencia, por lo que si me piden solamente el flujo entrante, ¿¿debería tener sólo en cuenta la mitad de la circunferencia en la que el flujo sea entrante?? Si es así, en este caso el flujo puede verse fácilmente cuando es entrante y cuándo saliente, pero en otras superficies y otros campos se complicaría, por lo que no sé como se haría.

la direccion del flujo viene definida por vector normal a la superficie, si la normal es entrante la dirección del flujo sera entrante, y saliente si la normal lo es... cuando z=0 la normal saliente sera (0,0,-1) si queres que el flujo sea entrante entonces la normal sera (0,0,1) , independientemente de que tomes y>0 o y<0

muchas gracias por la aclaración