124:
Calcule el volumen del cuerpo definido por $$x^{2} + z^{2} > 4$$ y $$x^{2} + z^{2} +y < 25$$ con $$y > 0$$

Al resolver, el mismisimo Flax usa cilindricas y pone

$$\int_{0}^{2\pi } d\sigma \int_{2}^{5} d\rho \int_{0}^{25-\rho ^{2}}$$

Por qué de 0 a 2pi, si $$y > 0$$ , no deberia ser de 0 a pi?

125
Calcular la masa del cuerpo limitado por $$x^{2}+y^{2} = 1, z = -1, z= x^{2} + y^{2}$$ si la densidad de cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje z

Al principio pone la formula conocida de masa: $$M = \int \int \int d\sigma \rho d\rho \, dz$$

Pero despues pone: $$M = \int_{0}^{2\pi } d\sigma \int_{0}^{1}\rho^{2} d\rho \int_{-1}^{\rho ^{2}}\, dz$$

No entiendo porque pone $$\rho ^{^{2}}$$ , deberia ser por el Jacobiano, pero la verdad que jamas habia vista alguno con $$\rho ^{^{2}}$$ .


126
Calcular el volumen del cuerpo definido por $$x > y^{2} -1$$ , $$x + y^{2} < 1$$ , $$z - x < 2$$ y $$z > x - 2$$

Lo hace por cartesianas, como seria por cilindricas?

Hola GaraPR,

(10-05-2012 12:47)GaraPR escribió:  
124:

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Calcule el volumen del cuerpo definido por $$x^{2} + z^{2} > 4$$ y $$x^{2} + z^{2} +y < 25$$ con $$y > 0$$

Al resolver, el mismisimo Flax usa cilindricas y pone

$$\int_{0}^{2\pi } d\sigma \int_{2}^{5} \rho.d\rho \int_{0}^{25-\rho ^{2}} dy$$

Por qué de 0 a 2pi, si $$y > 0$$ , no deberia ser de 0 a pi?

Mmm fijate en el siguiente desarrllo...

Redefinís:
$$x= p .cos \phi \wedge z= p .sen \phi$$

Entonces:
$$p ^2>4 \to p >2 \wedge 0<25- p ^2 \to p <5$$
$$2< p <5$$

El tema del ángulo es hasta $$2\pi$$ porque barre absolutamente toda la circunferencia del plano $$xz$$ . Dicha circunferencia es $$x^2+z^2=25$$ . Si vos analizás hasta $$\pi$$ estás teniendo en cuenta únicamente la mitad de la circunferencia.

Integramos:
$$\int_{0}^{2\pi } d \phi \int_{2}^{5} p .d p \int_{0}^{25- p ^{2}} dy$$

Cita:125:

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Calcular la masa del cuerpo limitado por $$x^{2}+y^{2} = 1, z = -1, z= x^{2} + y^{2}$$ si la densidad de cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje z

Al principio pone la formula conocida de masa: $$M = \int \int \int d\sigma \rho d\rho \, dz$$

Pero despues pone: $$M = \int_{0}^{2\pi } d\sigma \int_{0}^{1}\rho^{2} d\rho \int_{-1}^{\rho ^{2}}\, dz$$

No entiendo porque pone $$\rho ^{^{2}}$$ , deberia ser por el Jacobiano, pero la verdad que jamas habia vista alguno con $$\rho ^{^{2}}$$ .

Esto es más sencillo de lo que parece. Fijate que te pide hallar la masa. Y la densidad es proporcional a la distancia desde el punto al eje z. Por ende tenés que $$k= p$$ . Y pone $$p^2$$ porque uno pertenece al jacobiano como vos bien dijiste y otro a la densidad, multiplicados queda al cuadrado.

Saludos y cualquier cosa que dudes preguntá.

(10-05-2012 12:47)GaraPR escribió:  126:

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Calcular el volumen del cuerpo definido por $$x > y^{2} -1$$ , $$x + y^{2} < 1$$ , $$z - x < 2$$ y $$z > x - 2$$

Lo hace por cartesianas, como seria por cilindricas?

En este caso hacerlo por cilíndricas es completamente una locura, y para locos ya somos unos cuantos.

Un "truco" sencillo para darte cuenta si conviene o no usar cilíndricas es mirando los límites. Si aparece en alguno de ellos la relación $$x^2+y^2...$$ , $$x^2+z^2...$$ ó $$y^2+z^2...$$ AHI ES CUANDO CUANDO DECIS: "LO HAGO CON CILINDRICAS EN 2 MINUTOS Y NO ME HAGO TANTO LIO CON CARTESIANAS". En ese caso, simplemente renombrás a los ejes que se encuentran elevados al cuadrado por $$p.cos \phi \wedge p.sen \phi$$ respectivamente de modo que te queda la famosa y conocida relación:

$$(p.cos \phi)^2+(p.cos \phi)^2=p^2.(cos^2 \phi+sen^2 \phi)=p^2.1=p^2$$

Y se te simplifica un millón de veces todos los cálculos a realizar, las integrales van a ser una papota.

(10-05-2012 13:25)matyary escribió:  Por ende tenés que $$k= p$$

MMM.... si bien tenés razón, no hace esa igualdad porque si, esta relacionando las coordenadas cilindricas, con las cartesianas ¿ sabes él porque de la justificacion de que $$k=p$$ ???

(10-05-2012 22:00)Saga escribió:  MMM.... si bien tenés razón, no hace esa igualdad porque si, esta relacionando las coordenadas cilindricas, con las cartesianas ¿ sabes él porque de la justificacion de que $$k=p$$ ???

Sale de acá:

(10-05-2012 12:47)GaraPR escribió:  125
Calcular la masa del cuerpo limitado por $$x^{2}+y^{2} = 1, z = -1, z= x^{2} + y^{2}$$ si la densidad de cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje z

Esa distancia que dice el enunciado analíticamente sería:

$$d=|(x,y,z)-(0,0,z)|=|(x,y,0)|=\sqrt{x^2+y^2}$$

En cilíndricas:

$$x=p.cos \phi \wedge y=p.sen \phi$$

Y la distancia quedaría:

$$d=\sqrt{p^2.cos^2 \phi + p^2.sen^2 \phi}=\sqrt{p^2}=p$$

Eso vendría a ser todo el desarrollo.

(10-05-2012 13:25)matyary escribió:  Hola GaraPR,

(10-05-2012 12:47)GaraPR escribió:  
124:

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Calcule el volumen del cuerpo definido por $$x^{2} + z^{2} > 4$$ y $$x^{2} + z^{2} +y < 25$$ con $$y > 0$$

Al resolver, el mismisimo Flax usa cilindricas y pone

$$\int_{0}^{2\pi } d\sigma \int_{2}^{5} \rho.d\rho \int_{0}^{25-\rho ^{2}} dy$$

Por qué de 0 a 2pi, si $$y > 0$$ , no deberia ser de 0 a pi?

Mmm fijate en el siguiente desarrllo...

Redefinís:
$$x= p .cos \phi \wedge z= p .sen \phi$$

Entonces:
$$p ^2>4 \to p >2 \wedge 0<25- p ^2 \to p <5$$
$$2< p <5$$

El tema del ángulo es hasta $$2\pi$$ porque barre absolutamente toda la circunferencia del plano $$xz$$ . Dicha circunferencia es $$x^2+z^2=25$$ . Si vos analizás hasta $$\pi$$ estás teniendo en cuenta únicamente la mitad de la circunferencia.

Integramos:
$$\int_{0}^{2\pi } d \phi \int_{2}^{5} p .d p \int_{0}^{25- p ^{2}} dy$$

Claro pero no me queda claro, porque te dice que y>0 entonces, tendria que ser un semi-cilindro digamos, porque el eje y te lo corta por la mitad, o no?

(10-05-2012 22:40)matyary escribió:  Esa distancia que dice el enunciado analíticamente sería:

$$d=|(x,y,z)-(0,0,z)|=|(x,y,0)|=\sqrt{x^2+y^2}$$

Bien pero creo que solo sirve para cuando tenes dos puntos con la misma componente en z ponele que en un punto tengas z=5 y en el otro z=2 no va a dar 0 la tercer componente.

Pienso que mas general seria pensar el eje z como una recta de la forma

$$r: (0,0,z_0)+\alpha(0,0,\pm1)$$

Tomar un generico $$A=(x,y,z)$$

y plantear la conocida formula de distancia

$$d(A,r)=\frac{|AB\times d_r|}{|d_r|}$$ siendo B el punto

perteneciente a la recta r, llegas a lo mismo solo que se cumple para

cualquier punto que este sobre el eje z, y cualquier punto generico.

Bueno por lo menos asi lo veo yo, no quiere decir que tenga que ser asi

(10-05-2012 23:12)GaraPR escribió:  Claro pero no me queda claro, porque te dice que y>0 entonces, tendria que ser un semi-cilindro digamos, porque el eje y te lo corta por la mitad, o no?

Ojo con eso!!! Ahí estás mezlando cartesianas con cilíndricas. Acordate que ahora nos movemos respecto de $$p$$ y de $$\phi$$ . Pensándolo así fijate que no hay nada que contradiga que el ángulo de barrido es de $$0$$ a $$2\pi$$ , o mejor dicho no hay nada que te diga que el ángulo no abarca toda la curva.

NOTA: Para que el ángulo no abarque los cuatro cuadrante el ejercicio te tiene que dar como dato alguna región (en cartesianas) que presente una relación entre $$x \wedge y$$ . Suponete que además de las regiones que figuran en el problema le agregamos $$x<y$$ . Pasado a cilíndricas $$\phi < \frac{\pi}{4}$$ . Pensalo y cualquier cosa preguntá.

(10-05-2012 23:17)Saga escribió:  Bien pero creo que solo sirve para cuando tenes dos puntos con la misma componente en z ponele que en un punto tengas z=5 y en el otro z=2 no va a dar 0 la tercer componente.

Tu desarrollo me pareció correcto.
Iba a negar lo que dijiste sobre mi planteo, pero lo pensé mejor y me parece que tenés razón.
Sirve para el caso particular en que tanto en el eje como en el punto el valor de la tercer componente sea el mismo.
Pero bueno, a mi entender eso siempre se supone así.

No discuto para nada tu desarrollo maty, al contrario es mas simplificado, ademas aclare al final del mio "no tiene porque ser asi", simplemente no tome los supuestos que vos consideraste, que me imagino deben ser asi, ya que planteandolo en general sea cual fuese el numero sobre el eje z, y que esta a una cierta distancia del mismo, siempre termina cancelandose, asi que esos supuestos se deben cumplir siempre

(10-05-2012 23:54)Saga escribió:  No discuto para nada tu desarrollo maty, al contrario es mas simplificado, ademas aclare al final del mio "no tiene porque ser asi", simplemente no tome los supuestos que vos consideraste, que me imagino deben ser asi, ya que planteandolo en general sea cual fuese el numero sobre el eje z, y que esta a una cierta distancia del mismo, siempre termina cancelandose, asi que esos supuestos se deben cumplir siempre

Claro, sí te entendí perfecto. En principio había interpretado distinto y estaba planteándote el porqué del desarrollo, que se cumplía para cualquier punto. Cuando terminé de escribir todo con latex me di cuenta que tenías razón, que sólo se cumple cuando la última componente en ambos puntos es la misma, aunque supongo que esta consideración no hay que tenerla en cuenta (creo que siempre se piensa como si esas componentes fueran iguales). En fin, no es de gran importancia, llegamos a la misma conclusión por distintos métodos Jaja