Se los dejo resuelto



T1) por definicion

\[\nabla h(x,y)=\nabla f(g(x,y))\nabla g(x,y)\]

nos piden

\[\nabla h(a,b)=\nabla f(g(a,b))\nabla g(a,b)\]

por los datos del enunciado

\[\nabla h(a,b)=\nabla f(2,1)\begin{pmatrix}3 & 1\\ 5 & 4\end{pmatrix}\]

luego

\[\nabla f(2,1)=(4,7)\]

\[\nabla h(a,b)=(4,7)\begin{pmatrix}3 & 1\\ 5 & 4\end{pmatrix}\]

finalmente

\[\boxed{\boxed{\nabla h(a,b)=(47,32)}}\]

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T2) solo hay que despejar y de la familia que nos dan

\[y=\frac{c}{x}\to y'=-\frac{c}{x^2}\to \boxed{y'=-\frac{y}{x}}\]

cambio

\[y'=-\frac{1}{y'}\]

integrando obtenemos la ecuacion general de la familia de curvas \[y^2=x^2+k\]

evaluando en el punto , finalmente la familia pedida es

\[\boxed{\boxed{y^2-x^2=3}}\]

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E1) la curva dada es de la forma

\[C:\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=9\\z=4 \end{matrix}\right.\]

como no hay informacion sobre si la funcion h es derivable, entonces vamos a la definicion

\[w=\int fds=\int_{a}^{b}f(g(t))g'(t)dt\]

parametrizo la curva y la expreso como una funcion vectorial

\[g:R\to R^3/g(t)=(3\cos t,3\sin t,4)\]

no hay restricciones angulares ,entonces hechas las cuentas la circulacion es

\[\boxed{\boxed{w=\int_{0}^{2\pi}72\cos^2t-36\sin^2tdt=36\pi}}\]

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E2) despejando y obtenemos

\[x^2\leq y\leq 9-z\]

por transitivdad obtenemos los limites en x z luego

\[\boxed{\boxed{V=\int_{0}^{3}\int_{0}^{9-x^2}\int_{x^2}^{9-z} dydzdx=\frac{324}{5}}}\]

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E3) la curva dada es de la forma

\[g:R\to R^3/g(x)=(x,2x,1-x^2)\]

por definicion

\[L=\int_{a}^{b}||g'(x)||dx\]

para los limites nos dicen que

\[z\geq 0\to 1-x^2\geq 0\to |x|\leq 1\]

finalmente

\[\boxed{\boxed{L=\int_{-1}^{1}\sqrt{5+4x^2}dx=2\int_{0}^{1}\sqrt{5+4x^2}dx\approx 5.01}}\]

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E4) parametrizo la superficie y la expreso como una funcion vectorial

\[g:R^2\to R^3/g(r,t)=(r\cos t,r\sin t,4-r^2)\]

por definicion

\[A=\iint_S ||g'_r\times g'_t||drdt\]

el modulo de los elementales es

\[||g'_r\times g'_t||=r\sqrt{4r^2+1}\]

luego nos dicen que

\[z\geq 3\to 4-r^2\geq 3\to 0<r\leq 1\]

\[y\geq \sqrt{3}x\to r\sin t\geq \sqrt{3}r\cos t\to \tan t\geq \sqrt {3}\to t\geq \frac{\pi}{3}\]

la restricion angular es al primer octante por lo tanto

\[\boxed{\boxed{A=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}r\sqrt{4r^2+1}drdt=\frac{\pi}{72}(5\sqrt{5}-1)}}\]

Saga, qué onda? sos ayudante? Siempre veo tus posts y que contestás todo, la tenés re clara

... nada que ver chimaira, soy alumno como todos aca... ayudante no soy , queria pero bueno por temas de tiempo no se pudo.... supongo que al año que viene intentare ya sea algebra analisis o analisis 2 ...

Seguro se te de, posta, le ponés mucho esmero =)
Afortunadamente ya las pasé esas materias y bastante bien, no puedo quejarme
Pero hubiese estado bueno contar con el foro en su momento (no sabía de su existencia .___________.) y con alguien así tan bien predispuesto jajajaja
Suena re demagogo lo sé, pero siempre llama poderosamente la atención lo que hacés

y veremos que se da ... me gustan las mates por eso lo hago ... sino ni en pedo

Saga, vagando por los posts de finales ajaj, me encontré con este, y vi que pusiste que en el E1 no te dice que la función sea derivable. Pero si te dice eso, y más, ya que dice que pertenece a C1, por lo tanto se puede resolver por Stokes también.

(04-03-2014 04:35)Diego Pedro escribió:  Saga, vagando por los posts de finales ajaj, me encontré con este, y vi que pusiste que en el E1 no te dice que la función sea derivable. Pero si te dice eso, y más, ya que dice que pertenece a C1, por lo tanto se puede resolver por Stokes también.

asi es... no lei la parte de f derivable , asi que si se puede tmb por stockes... igualmente no resulta difiicil por definicion

Una consulta medio tonta, en el E4) porque no se multiplica por r el resultado del producto vectorial? pensaba que era:

r^2 * sqrt(4r^2+1) drdt por haberlo cambiado a polares, o es porque de un principio "no se usa" el cambio de variables por ende no hay jacobiano?