Buenas,

en el foro de AM2 ya publicaron el final de hoy

http://analisis2.wordpress.com/2012/02/2...-24022012/

no sé por qué no se puede descargar bien la imagen, sino lo subiría directo acá.

espero a alguien le sirva, saludos!



Gracias por la info ahi lo subi, en un rato mas si me da subo la resolucion

gracias, muy buen aporte

terrible aporte ! muchísimas gracias !!

Les paso mi resolucion, espero criticas al respecto

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E1) de los datos del enunciado definimos que \[3x^2\leq z\leq 4-x^2-4y^2\] , por definicion \[V=\iiint_V dV\] para el ejercicio lo calculo por " una doble "

\[V=\iint_\sigma \left( \int z\right )d\sigma=\iint_\sigma\left(\int_{3x^2}^{4-x^2-4y^2}dz\right) d\sigma\]

operando obtengo que

\[V=4\iint_P_{xy}1-(x^2+y^2)dxdy\] el dominio de integracion sobre el plano xy \[D=\left \{ x\in R^2/x^2+y^2\leq 1 \right \}\]

tomando polares

\[g:R^2\rightarrow R^2/g(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\] operando de manera conveniente y haciendo las sustituciones necesarias

\[V=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}r-r^3drd\theta=\frac{\pi}{2}\]

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E2) De los datos del ejercicio deducimos que

\[w=u+uz^2\qquad \begin{Bmatrix} u=x+y^2\\\\ z=f(x,y)=x+2y-3\end{matrix}\]

con el punto A obtenemos los valores de z y u \[\begin{Bmatrix} u=6\\ z=3\end{matrix}\]

para hallar la derivada de h usamos la regla de la cadena

\[\\\frac{dh}{dx}=\frac{dw}{du}\frac{du}{dx}+\frac{dw}{dz}\frac{dz}{dx}\\\\\\\frac{dh}{dy}=\frac{dw}{du}\frac{du}{dy}+\frac{dw}{dz}\frac{dz}{dy}\]

operando de manera conviente (salvo error)

\[\\h'_x=1+z^2+2uz\\\\h'_y=2y+2yz^2+4uz\]

solo queda reemplazar los valores de u y z hallados anteriormente y definir la aproximacion para h en el punto pedido, cualquier duda lo hacemos, pero creo que no tendrian problemas para terminarlo

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E3) Aplicamos la definicion directamente, de los datos del enunciado se deduce \[\begin{Bmatrix}x=\sqrt{y}\\z=\sin y \end{matrix}\] , defino la curva en forma parametrica como

\[g:R\rightarrow R^3/g(y)=(\sqrt{y},y,\sin y)\]

la definicion nos dice que

\[w=\int_{a}^{b}f(g(y))g'(y)dy\quad y\in{[a,b]}\]

haciendo los reemplazos correspondientes y las cuentas algebráicas adecuadas (salvo que error) obtengo

\[w=\int_{0}^{\pi}\left( \frac{3}{2}y+\sin y\right) dy=2+\frac{3}{4}\pi^2\approx 9.4022\]

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E4) aplicamos divergencia y le restamos la tapa, por definicion \[\varphi=\iint_S+\iint_S_1=\iiint_V div f dV\] despejando de manera adecuada, necesitamos calcular

\[\varphi=\iint_S=\iiint_V div f dV-\iint_S_1\]

Calculo la integral de volumen por una integral doble

\[\iint_\sigma\left ( \int div f dz \right )d\sigma=\iint_\sigma \left ( \int_{1}^{5-x^2-y^2}5dz \right )d\sigma=5\iint 4-(x^2+y^2)dxdy\]

el recinto de integracion esta definido \[D=\left \{ x\in R^2/x^2+y^2\leq 4 \right \}\]

tomando coordenadas polares y reemplazando en nuestra integral obtenemos

\[\iiint_V div f dV=5\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(4-r^2)rdrd\theta=40\pi\]

defino la tapa como \[S_1=\begin{Bmatrix} z=1\\x^2+y^2=4\end{matrix}\] la parametrizo como

\[g:R^2\rightarrow R^3/g(x,y)=(x,y,1)\]

la normal esta dada por

\[\hat n=g'_x\times g'_y=(0,0,1)\mbox{ por regla de la mano derecha } \hat n=(0,0,-1)\]

aplicando la definicion, y coordenadas polares sobre S1 obtenemos

\[\iint_\sigma f(g(x,y))\hat nd\sigma=\iint-3z dxdy=-3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}rdrd\theta=-12\pi\]

finalmente

\[\varphi=\iint_S=\iiint_V div f dV-\iint_S_1=40\pi-(-12\pi)=52\pi\]

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Los teoricos los dejo para mañana, si alguien quiere intervenir bienvenido sea , si hay errores de definiciones o de cuentas avisen asi se corrigen y queda bien para todos

saludos

puro a la ciencia es lo tuyo eh! postear la resolución a esa hora

se agradece!

(25-02-2012 23:12)proyectomaru escribió:  puro a la ciencia es lo tuyo eh! postear la resolución a esa hora

Off-topic:

jajaj no es eso, bueno algo pasa que laburo de noche maso hasta las 2 am y entre que llego a casa y como algo siempre termino de acostarme tipo 5 a 6, mi dia empieza a las 14 o 15 recien.. por eso la mayoria de mis posts son de madrugada

yo lo aprobe con 5... de pedooo!!... pude hacer bien los teoricos, salvo demostrar lo del extremo porque intente hacerlo con la matriz Hessiana, y me daba cero, y me nuble.
Despues hice el de flujo y circulacion, y tambien el de calcular el volumen.
En los tres tuve solo errores de cuenta, pero estaban bien los limites de integracion y los dibujos de los cuerpos.
Gauss, Stokes, y Green la tienen re adentro!.
Saludos!

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el teorico B, daba 75pi... era facil... es aplicar la definicion de Green de Q'x - P'y, y hacer la integral doble que va desde 0 a 2pi, y de 0 a 5 el radio.
La definicion del teorema la pueden buscar en los libros.

yo aprobe tmb, el e1) el e4) el T1) y el T2) los hice igual que Saga. Estos posteos fueron de gran ayuda para poder aprobarlo, se agradece, sobre todo a Saga que los resuelve

Grosso suru88, gracias por agradecer
saludos y exitos en la carrera

Muchas gracias por postear la resolución! Me re ayudó! Saludos

Les dejo mi resolución del T1), que no está resuelto todavía, tanto teoría como práctica. Me da igual que a uno de los chicos que comentaron en el blog, si tiene algún error (o también algún horror ), me avisan

Teorema de Green:

Sean:

\[D\subseteq \mathbb{R}^2 / C = \partial D\] Una curva cerrada y simple (De Jordan), regular (a trozos) y orientada en sentido positivo (antihorario)
y
\[\bar{f}: W\subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 / \bar{f}(x,y) = (P,Q)\] con \[\bar{f} \in C^1 (U)\] (U abierto) y \[D \subseteq U \subseteq W\]

\[\Rightarrow \oint_{C^+}\bar{f}\bar{ds} = \iint_{D} Q'_x - P'_y dx dy\]

Paso a resolver el ejercicio:

Me dicen que es un disco de radio r=5 en el plano xy, por lo tanto tengo esta expresión:

\[x^2+y^2 \leq 25\] (1)

Por otro lado, como me dan una región y el campo \[\bar{f}\], se que aplicando Green, el ejercicio sale (aparte no tendría sentido, no? ), así que voy a calcular las derivadas de los miembros del campo:

\[P'_y =e^{xy} + xye^{xy}\]
\[Q'_x =3+e^{xy} + xye^{xy}\]

De esto último surge que: \[Q'_x - P'_y = (3+e^{xy} + xye^{xy}) - (e^{xy} + xye^{xy})=3\]

\[\therefore \oint_{c^+}\bar{f}\bar{ds} = 3\iint_D dxdy\], es decir: \[\oint_{c^+}\bar{f}\bar{ds} = 3 Area(D)\]

Paso a calcular los limites de la ecuacion (pasando a polares):

Como el disco se toma entero (es decir, punto inicial = punto final), puedo decir que \[0 \leq \theta\leq 2\pi \]

Usando (1) tengo que:

\[x^2+y^2\leq 25\] con \[(x,y) = (\rho cos\theta,\rho sen\theta)\]

Utilizando la igualdad \[cos^2\theta + sen^2\theta = 1\] puedo decir que:

\[\rho^2 \leq 25\]

de lo que surge: \[0\leq \rho \leq 5\]

\[\Rightarrow D^* \begin{Bmatrix} 0\leq\theta\leq2\pi\\\\ 0\leq \rho \leq 5\end{matrix}\]

Procedo a calcular Area(D):

Area(D) = \[\iint_{D}dx\, dy = \iint_{D^*}\rho\: d\rho\, d\theta\]

Area(D) = \[\iint_{D^*}\rho\: d\rho\, d\theta = \int_{0}^{2\pi}d\theta\, \int_{0}^{5} \rho \, d\rho\]

Area(D) = \[\int_{0}^{2\pi}d\theta\, [\rho^2/2]_0^5 = 25/2\,\int_0^{2\pi}d\theta\]

Area(D) = \[25/2 \cdot 2\pi = 25\pi\]

\[\therefore \oint_{c^+}\bar{f}\bar{ds} = 3\,Area(D) = 3\cdot25\pi = 75\pi\]


Espero que le sea util a alguien, a mi me sirvio para repasar un poco

Esta perfecto sebasdp se agradece el aporte, muy clara tu explicacion

Una pregunta sobre el ultimo ejercicio. La normal de la tapa la tomas como (0,0,-1) porque la superficie tiene que estar orientada en Z positivo?

Alguien me podria explicar bien como en el E1 se sacan los limites de integracion?
Desde ya muchas gracias!

(01-03-2012 18:34)sebasdp escribió:  Una pregunta sobre el ultimo ejercicio. La normal de la tapa la tomas como (0,0,-1) porque la superficie tiene que estar orientada en Z positivo?

Sí, recordas algebra, esa superficie corresponde a un paraboloide con las ramas hacia abajo y vertice en (0,0,5), lo unico que te aclara el enunciado con el dato de z positivo, es que tomes el paraboloide con z>0, pero ademas te dicen que lo tomes cuando \[z\geq 1\] .
Si en el enunciado no se aclararia nada de "con z positivo", o \[z\geq 1\], entonces tenes un paraboloide abierto, y aplicar divergencia se complicaria un poco, tendrias infinitas "tapas" que cierran esa superficie, "tapas" del tipo \[z=z_0\], en ese caso no te quedaria otra que ir directo a la definicion.
Utilizo la normal (0,0,-1) porque el teorema de la divergencia exige que siempre tomes la normal saliente a la superficie, espero haber sido claro.

(01-03-2012 18:37)maxiutn escribió:  Alguien me podria explicar bien como en el E1 se sacan los limites de integracion?
Desde ya muchas gracias!

Nos piden que el volumen en el primer octante, fijate que cuando planteo la proyeccion sobre al plano xy nos queda una circunferencia, para que cumpla las condiciones del enunciado, una parte de dicha circunferencia debe estar en el primer cuadrante, de ahi deducis los limites, ya sea viendo el dibujo o analizando de forma analítica. Lo podes visualizar ?