les dejo algunos resueltos

E1) evaluando el punto dado en la superficie definida implicitamente obtenemos que \[z_0=1\quad A=(2,1,1)\]

calculamos el gradiente de \[F(x,y,z)=xz^2+\ln(2y+z-2)-2\]

\[\nabla F=\left(z^2,\frac{2}{2y+z-2},2xz+\frac{1}{2y+z-2}\right)\]

de donde \[\nabla F(2,1,1)=(1,2,5)\] luego el plano tangente sera de la forma \[\pi: (x-2,y-1,z-1)(1,2,5)=0\to \boxed{\pi: x+2y+5z-9=0}\]

el flujo viene dado por

\[\varphi=\iint_R f nds\]

tomando una funcion vectorial

\[g:R^2\to R^3/g(y,z)=(9-2y-5z,y,z)\]

la normal sera el producto de los vectores elementales \[n=g'_y\times g'_z=(1,2,5)\]

luego

\[\varphi=\iint_R f nds=\iint_{P_{yz}} -3x dydz=\iint_{P_{yz}} -3(9-2y-5z) dydz\]

los limites estan en funcion de g, ademas de estar en el primer octante, entonces

\[9-2y-5z>0\quad \boxed {0<z<\frac{9}{5}-\frac{2}{5}y}\]

por transitividad

\[0<\frac{9}{5}-\frac{2}{5}y \to \boxed {0<y<\frac{9}{2}}\]

finalmente

\[\boxed{\boxed{\varphi=\iint_{P_{yz}} -3(9-2y-5z) dzdy=-\frac{729}{20}}}\]

---

E2) por definicion \[M=\iint_R k\delta(x,y) dA\]

\[\delta(x,y)=\frac{1}{d(P,0)}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\]

luego

\[M=\iint_R k\delta(x,y) dA=k\iint_R \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} dA\]

tomando polares sobre R obtenemos R' con lo que :

\[\boxed{\sqrt{2}<r<2\cos\theta}\]

de donde

\[\boxed{-\frac{\pi}{4}<\theta<\frac{\pi}{4}}\]

finalmente

\[\boxed{\boxed{M=k\iint_R \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} dA=k\iint_{R'} drd\theta=\frac{k\sqrt{2}}{2}(4-\pi)}}\]

---

E4) si calculamos el volumen por una integral doble obtenemos que

\[V=\iint_{P_{xz}}\left ( \int_{x}^{6}dy \right )dxdz=\iint_{P_{xz}}6-xdxdz\]

los limites son \[\boxed{0<z<4-x}\]

por transitividad \[0<4-x\to \boxed{0<x<4}\]

finalmente

\[\boxed{\boxed{V=\iint_{P_{xz}}6-xdzdx=\frac{112}{3}}}\]

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los otros para mas tarde

Alguien podría resolver el ejercicio 3

Saludos

De los datos del enunciado obtenemos

\[f(0,1,0)=(1+g(0),g'(0),0)=(3,1,0)\]

obteniendo las condiciones iniciales

\[g(0)=2\quad g'(0)=1\]

para que el campo f admita funcion potencial la matriz jacobiana de f debe ser simetrica, echas las cuentas tenes que resolver la ecuacion diferencial

\[g''(x)-g(x)=1\]

cuya solucion es

\[\boxed{\boxed{g(x)=Ae^x+Be^{-x}-1}}\]

tenes las condiciones iniciales, solo es reemplazar valores desde aca

Gracias Saga!

Una consulta, en el E1 no seria -3x en vez de 3x cuando multiplico f(x,y,z).(1,2,5) en mi caso lo hice en el recinto XY por lo que reemplace z por (9-2y-x)/5
El resultado final me dio -729/4

(20-09-2013 18:42)Seba17 escribió:  Una consulta, en el E1 no seria -3x en vez de 3x cuando multiplico f(x,y,z).(1,2,5) en mi caso lo hice en el recinto XY por lo que reemplace z por (9-2y-x)/5
El resultado final me dio -729/4

Nop... si subis lo que hiciste te digo bien pero la respuesta es esa que puse ahi

f.n = (2y-13,2-x,z).(1,2,5) = 2y-13+4-2x+5z
Al integrar el recinto en xy, reemplazo z, por la formula del plano tangente tengo x+2y+5z=9 --> 5z= 9-x-2y
volviendo a f.n= 2y-13+4-2x+9-x-2y =-3x
el recinto de integracion en xy es 0<y<9/2
0<x<9-2y

ya que al tener z=0 despejo de la formula del plano que queda x+2y=9

Hago la integral de -3x sobre esos limites de integración y obtengo -729/4

No se en que me estaré confundiendo, gracias por tomarte el tiempo de mirarlo!

ok pero si tomas la proyeccion sobre el xy la normal no es esa que propones, es una proporcional a la que me decis ...los limites estan bien, pero no el integrando, lo correcto es

\[\varphi=\int_{0}^{9/2}\int_{0}^{9-2y}-\frac{3}{5}xdxdy=-\frac{729}{20}\]

fisicamente el campo propuesto frena el fluido ...

Para la normal no hay que usar siempre la de la superficie que tengamos independientemente de el recinto que elegimos?
Capaz tengo mal el concepto teorico, me podrías explicar como hallar la nueva normal ?

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Creo que ya lo entendi, al tomar de esa forma la normal estoy usando la formula del plano como una funcion implicita, sin despejar z, entonces luego el diferencial sigma es la normal del gradiente de la funcion implicita sobre la derivada en z, que es 5.
Muchas gracias!

Así es... yo no me manejo con diferenciales y gradientes en esta parte de análisis, ya que en la mayoria de los ejercicios , por lo menos para mi, solo complican en ocaciones, .. lo mas simple

es definir una funcion vectorial g... como lo hice en mi respuesta al momento de resolver este ejercicio ... recorda que si logro parametrizar una superficie y luego la expreso como una función

vectorial g(u,v), la normal a la misma sera el producto vectorial de los elementales ... lo que quiero decir es..

Sea S la superficie expresada como una funcion vectorial C1

\[g:R^2\to R^3/g(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\]

por definicion, la normal a la misma vendra dada por el por el producto vectorial de los vectores elementales

\[n=g'_u\times g'_v\]

luego para calcular el flujo en el ejercicio simplemente es hacer el producto escalar entre f y la normal , o sea

\[\varphi=f(g(u,v))\cdot(g'_u\times g'_v)dudv\]

lo que planteas vos, es lo mismo, solo que las "formulas" que usas se deducen de la definición que explique mas arriba, solo que de esta manera me "evito pensar" sobre cual plano proyectar y

demás... una vez lograda la función g es solo tema de cuentas para lograr los limites de integracion, la ventaja es que no necesitas del dibujo de S y de R... pero cada uno se maneja como mejor

lo entienda ..

Holaa, alguno me podria decir como hacer el T2? Gracias! Un saludo!

El t2 se basa en que la divergencia de un rotor es igual a 0, ya que se cancelan los terminos por el teorema de Schwarz

(08-08-2013 05:16)Saga escribió:  E1) evaluando el punto dado en la superficie definida implicitamente obtenemos que \[z_0=1\quad A=(2,1,1)\]

calculamos el gradiente de \[F(x,y,z)=xz^2+\ln(2y+z-2)-2\]

\[\nabla F=\left(z^2,\frac{2}{2y+z-2},2xz+\frac{1}{2y+z-2}\right)\]

de donde \[\nabla F(2,1,1)=(1,2,5)\] luego el plano tangente sera de la forma \[\pi: (x-2,y-1,z-1)(1,2,5)=0\to \boxed{\pi: x+2y+5z-9=0}\]

el flujo viene dado por

\[\varphi=\iint_R f nds\]

tomando una funcion vectorial

\[g:R^2\to R^3/g(y,z)=(9-2y-5z,y,z)\]

la normal sera el producto de los vectores elementales \[n=g'_y\times g'_z=(1,2,5)\]

luego

\[\varphi=\iint_R f nds=\iint_{P_{yz}} 3x dydz=\iint_{P_{yz}} 3(9-2y-5z) dydz\]

los limites estan en funcion de g, ademas de estar en el primer octante, entonces

\[9-2y-5z>0\quad \boxed {0<z<\frac{9}{5}-\frac{2}{5}y}\]

por transitividad

\[0<\frac{9}{5}-\frac{2}{5}y \to \boxed {0<y<\frac{9}{2}}\]

finalmente

\[\boxed{\boxed{\varphi=\iint_{P_{yz}} 3(9-2y-5z) dzdy=-\frac{729}{20}}}\]

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Pregunta:

en este ejercicio como llegan a 3x?

multiplicando el campo por la normal (supongo que seria (1,2,5))


\[(2y-13,2-x,z) * (1,2,5)\]





me quedaria algo asi

\[2y - 13 + 4 - x + 5z\]

gracias!

(05-02-2014 18:40)leaan escribió:  
Pregunta:

en este ejercicio como llegan a 3x?

en realidad me comi el signo menos cuando lo pase aca al foro, y cuando seba17 lo pregunto no me di cuenta .... gracias por avisar ... ahi lo revise y lo arregle tiene que ser -3x

Cita:multiplicando el campo por la normal (supongo que seria (1,2,5))


\[(2y-13,2-x,z) * (1,2,5)\]

me quedaria algo asi

\[2y - 13 + 4 - x + 5z\]

gracias!

te comiste el dos cuando multiplicaste a la x... YO para ahorrarme una cuenta simplemente acomode terminos asi

\[-2x-(9-2y-5z)\]

lo que esta entre parentesis es igual a x

entonces tenes

\[-2x-x=-3x\]

de ahi vuelvo a reemplazar segun el valor de la primer componente de mi funcion g y queda

\[-3(9-2y-5z)\]

quizas un paso al pp pero como dije YO lo hice para ahorrarme una cuenta nada mas .... se entendio ?? lo que vos hiciste esta bien.... salvo ese dos que falta en x, siguiendo tu razonamiento

deberias reemplazar el valor de x segun la componente de la funcion g y hacer las cuentitas ... el resultado debe ser el mismo tomando un camino u otro

Gracias! ahi pude ver que me faltaba