Ajunto el final de álgebra tomado el 24-5-16.

Si alguien lo resuelve seria de mucha ayuda

   

Les dejo el link de dropbox por si la imagen no se puede ver
https://dl.dropboxusercontent.com/u/8918...6%20T2.JPG

alguien sabe como se hace el primero?
La recta R1 la saco haciendo producto vectorial de los normales de los planos que me dan..

Como R1 y R2 Son paralelas, primero tengo que encontrar una recta que no sea paralela, esto lo hago con un punto de R1 hacia R2
Con esa recta que obtuve, hago producto vectorial con R1 u R2 y
Saco la normal del plano(y por ende el platno) que contiene R1 y R2,
Ya tengo el plano pero no se como seguir con la parte que dice:
L corta perpendicularmente a R1 en un punto del eje Z.

Hasta ahí vas bien, yo después de eso plantie 2 ecuaciones. Como L está incluida en el plano el director de L haciendo producto escalar con el normal del plano tiene que dar 0, y como L corta perpendicularmente a R1 también el director de L producto escalar con el director de R1 tiene que dar 0. Entonces (a,b,c).(normalPlano)=0 y (a,b,c).(dirR1)=0 de ahi me queda (C/2, 3C/2, C) planteando C=1 te queda (1/2, 3/2, 1) que seria el director de L. Y como te dice que corta a R1 en un punto del eje Z, el punto de R1 es (0,0,-2) que como corta a L en Z, L tiene el mismo punto en Z que tiene que ser si o si también (0,0,-2), entonces L te queda Lx,y,z) + t(1/2,3/2,1) que esa recta cumple las dos condiciones. Capaz hay alguna otra forma pero a mi me salió esta.

Alguien tiene idea del 3? ese no me sale por ningún lado. Graciela

No hicieron ninguna correccion en la superificie del ejercicio 2 ?? donde dice -y^2 no sera +y^2 ??

(13-07-2016 04:36)Saga escribió:  No hicieron ninguna correccion en la superificie del ejercicio 2 ?? donde dice -y^2 no sera +y^2 ??

Yo tuve la misma duda en el final, le pregunte a la profesora que era jefa de mesa y no me supo responder, me dijo que "no tiene nada que ver". Para mi esta mal el enunciado.

A ver...

1) como bien dicen las rectas dadas son paralelas de ecuaciones

\[\\r_1: (x,y,z)=(0,0,2)+x(1,1,-2)\quad x\in R\\\\r_2: (x,y,z)=(0,1,0)+t(1,1,-2)\quad t\in R\]

el vector formado por los puntos de ambas rectas es

\[\vec{u}=(0,1,-2)\]

la normal del plano pedido

\[\vec n=\vec u\times\vec d_{r_1}=(0,2,1)\]

o sea 2y+z+d=0, para hallar d basta evaluar cualquier punto de la recta en él de donde finalmente el plano tiene ecuacion

\[\pi: 2y+z-2=0\]

de las condiciones del ejercicio

\[\vec d_L\perp \vec n\quad \wedge \quad \vec d_L\perp \hat z\to \vec d_L=\vec n\times \hat z=(2,0,0)\]

finalmente la recta pedida tiene ecuacion

\[L: (x,y,z)=(0,0,2)+\lambda (1,0,0)\]

---

2)

\[La\ superficie\ S: Ax^2-y^2+2y+z^2=0\ se\ puede\ escribir\ como \]

\[S: Ax^2-(y-1)^2+z^2=-1\]

\[Si\ expreso\ la\ curva\ como\ C:\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{3}\cos t\\y-1=\sin t \\z=0 \end{matrix}\right.\]

elevo al cuadrado la primera y la segunda, las sumo y despejo convenientemente obtengo

\[C: \left\{\begin{matrix}9x^2+(y-1)^2=1\\z=0 \end{matrix}\right.\]

Para que la proyeccion de S cumpla con lo pedido necesariamente A<0 de donde se deduce que A=-9 , luego S tiene ecuacion

\[S: -9x^2-(y-1)^2+z^2=-1\]

haciendo las intersecciones con los otros planos coordenados , finalmente S corresponde a un hiperboloide de una hoja de eje paralelo al eje z

   

---

4) De las condiciones dadas tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incognitas

\[\\det A=0\to 2b-a=0\\\\det(A-\lambda I)=det(A-3I)=0\to-b-a=-3\]

de donde resolviendo queda que

\[a=2\ y\ b=-1\]

El otro autovalor hechas las cuentas es 0 entonces , la dim algebraica coincide con la geometrica , por ende A es diagonalizable entonces

\[P=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 &2 \end{pmatrix}\quad D=\begin{pmatrix}3 & 0\\0 & 0 \end{pmatrix}\]

---

5) tomo un generico (x,y) y planteo

\[(x,y)=\alpha(-1,0)+\beta(1,1)\to \alpha=y-x\ \quad \beta=y\]

luego de aplicar G a ambos lados de la igualdad

\[G:R^2\to R^3/G(x,y)=(-2x+2y,y,-x+y)\]

haciendo la composicion , hechas las cuentas (salvo error)

\[G \circ F:R^2\to R^3/G\circ F(x,y)=(-4x+4y,-3x+2y,-z+3y)\]

a) no es monomorfismo

b) el vector propuesto no pertenece a la Img GoF

---

El de complejos se los debo porque yo no tuve esa parte en AGA cuando la curse

gracias veamos si la meto que me quedan dos oportunidades.

el del complejo es yo lo hice asi y estaba bien.
Z= x (parte real) mas y(parte imaginaria.

como el 3 dentro del modulo pertenece a la parte real queda

!(x mas 3) mas (y)! < 9

sacas el modulo y elevando al cuadrado ambos miembros para despejar la raiz queda.

(x mas 3)¨2 mas (y)¨2 < 9

graficas un circulo de radio 3, centro (-3,0)


el angulo te lo dan donde dice arg(Z) (ojo que siempre se toma como referencia el origen(0,0) )

y el img(z"2) es la parte imaginaria de z que es Y
Y"2<0 o sea todos los y menor que cero (esta parte tengo mis dudas)

(14-07-2016 10:54)Saga escribió:  5) tomo un generico (x,y) y planteo

\[(x,y)=\alpha(-1,0)+\beta(1,1)\to \alpha=y-x\ \quad \beta=y\]

luego de aplicar G a ambos lados de la igualdad

\[G:R^2\to R^3/G(x,y)=(-2x+2y,y,-x+y)\]

haciendo la composicion , hechas las cuentas (salvo error)

\[G \circ F:R^2\to R^3/G\circ F(x,y)=(-4x+4y,-3x+2y,-z+3y)\]

a) no es monomorfismo

b) el vector propuesto no pertenece a la Img GoF

---

El de complejos se los debo porque yo no tuve esa parte en AGA cuando la curse

Puede ser que
1 - G(x,y)=(-x+y,y,-x+y), no -2x+2y
2 - Hiciste GoF cuando era FoG, porque ademas tenes una Z en una funcion que deberia ser R2 -> R3

A mi me queda

G(x,y)=(-x+y,y,-x+y)
F(x,y,z)=(x+y+2z, x-y+z, 2y+z)

FoG(x,y)=(4y-3x, y-2x, 3y-x) puede que me equivoque, obviamente

(14-07-2016 10:54)Saga escribió:  A ver...

1) como bien dicen las rectas dadas son paralelas de ecuaciones

\[\\r_1: (x,y,z)=(0,0,2)+x(1,1,-2)\quad x\in R\\\\r_2: (x,y,z)=(0,1,0)+t(1,1,-2)\quad t\in R\]

el vector formado por los puntos de ambas rectas es

\[\vec{u}=(0,1,-2)\]

la normal del plano pedido

\[\vec n=\vec u\times\vec d_{r_1}=(0,2,1)\]

o sea 2y+z+d=0, para hallar d basta evaluar cualquier punto de la recta en él de donde finalmente el plano tiene ecuacion

\[\pi: 2y+z-2=0\]

de las condiciones del ejercicio

\[\vec d_L\perp \vec n\quad \wedge \quad \vec d_L\perp \hat z\to \vec d_L=\vec n\times \hat z=(2,0,0)\]

finalmente la recta pedida tiene ecuacion

\[L: (x,y,z)=(0,0,2)+\lambda (1,0,0)\]

---

2)

\[La\ superficie\ S: Ax^2-y^2+2y+z^2=0\ se\ puede\ escribir\ como \]

\[S: Ax^2-(y-1)^2+z^2=-1\]

\[Si\ expreso\ la\ curva\ como\ C:\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{3}\cos t\\y-1=\sin t \\z=0 \end{matrix}\right.\]

elevo al cuadrado la primera y la segunda, las sumo y despejo convenientemente obtengo

\[C: \left\{\begin{matrix}9x^2+(y-1)^2=1\\z=0 \end{matrix}\right.\]

Para que la proyeccion de S cumpla con lo pedido necesariamente A<0 de donde se deduce que A=-9 , luego S tiene ecuacion

\[S: -9x^2-(y-1)^2+z^2=-1\]

haciendo las intersecciones con los otros planos coordenados , finalmente S corresponde a un hiperboloide de una hoja de eje paralelo al eje z

---

4) De las condiciones dadas tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incognitas

\[\\det A=0\to 2b-a=0\\\\det(A-\lambda I)=det(A-3I)=0\to-b-a=-3\]

de donde resolviendo queda que

\[a=2\ y\ b=-1\]

El otro autovalor hechas las cuentas es 0 entonces , la dim algebraica coincide con la geometrica , por ende A es diagonalizable entonces

\[P=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 &2 \end{pmatrix}\quad D=\begin{pmatrix}3 & 0\\0 & 0 \end{pmatrix}\]

---

5) tomo un generico (x,y) y planteo

\[(x,y)=\alpha(-1,0)+\beta(1,1)\to \alpha=y-x\ \quad \beta=y\]

luego de aplicar G a ambos lados de la igualdad

\[G:R^2\to R^3/G(x,y)=(-2x+2y,y,-x+y)\]

haciendo la composicion , hechas las cuentas (salvo error)

\[G \circ F:R^2\to R^3/G\circ F(x,y)=(-4x+4y,-3x+2y,-z+3y)\]

a) no es monomorfismo

b) el vector propuesto no pertenece a la Img GoF

---

El de complejos se los debo porque yo no tuve esa parte en AGA cuando la curse

El 4 esta mal hecho... -b-a=-3 y 2b=a queda -3b=-3 por lo tanto b es 1 y a es 2, por lo tanto tambien cambia el autovector. perdon por la tardanza en responder, estoy estudiando para rendir mañana jaja

Ok la idea se las di ja , puede ser que me haya equivocado en las cuentas pero ese es el procedimiento , mas tarde lo edito con sus correciones

(14-07-2016 22:00)apu87 escribió:  gracias veamos si la meto que me quedan dos oportunidades.

el del complejo es yo lo hice asi y estaba bien.
Z= x (parte real) mas y(parte imaginaria.

como el 3 dentro del modulo pertenece a la parte real queda

!(x mas 3) mas (y)! < 9

sacas el modulo y elevando al cuadrado ambos miembros para despejar la raiz queda.

(x mas 3)¨2 mas (y)¨2 < 9

graficas un circulo de radio 3, centro (-3,0)


el angulo te lo dan donde dice arg(Z) (ojo que siempre se toma como referencia el origen(0,0) )

y el img(z"2) es la parte imaginaria de z que es Y
Y"2<0 o sea todos los y menor que cero (esta parte tengo mis dudas)

puede ser que cuando hagas el cuadrado de la parte imaginaria te quede menos y`2? tenia entendido que i`2 = -1

(18-07-2016 17:21)haykodarb escribió:  

(14-07-2016 10:54)Saga escribió:  5) tomo un generico (x,y) y planteo

\[(x,y)=\alpha(-1,0)+\beta(1,1)\to \alpha=y-x\ \quad \beta=y\]

luego de aplicar G a ambos lados de la igualdad

\[G:R^2\to R^3/G(x,y)=(-2x+2y,y,-x+y)\]

haciendo la composicion , hechas las cuentas (salvo error)

\[G \circ F:R^2\to R^3/G\circ F(x,y)=(-4x+4y,-3x+2y,-z+3y)\]

a) no es monomorfismo

b) el vector propuesto no pertenece a la Img GoF

---

El de complejos se los debo porque yo no tuve esa parte en AGA cuando la curse

Puede ser que
1 - G(x,y)=(-x+y,y,-x+y), no -2x+2y
2 - Hiciste GoF cuando era FoG, porque ademas tenes una Z en una funcion que deberia ser R2 -> R3

A mi me queda

G(x,y)=(-x+y,y,-x+y)
F(x,y,z)=(x+y+2z, x-y+z, 2y+z)

FoG(x,y)=(4y-3x, y-2x, 3y-x) puede que me equivoque, obviamente

Puede ser que sea monomorfismo??

Consulta, puede ser que para la parte 4b, teniendo en cuenta que a = 2 y b = 1,
De las matrices:
D =
2 0
0 0

D =
0 1
0 -2

(25-07-2016 22:22)lucassidoti escribió:  

(14-07-2016 10:54)Saga escribió:  A ver...

1) como bien dicen las rectas dadas son paralelas de ecuaciones

\[\\r_1: (x,y,z)=(0,0,2)+x(1,1,-2)\quad x\in R\\\\r_2: (x,y,z)=(0,1,0)+t(1,1,-2)\quad t\in R\]

el vector formado por los puntos de ambas rectas es

\[\vec{u}=(0,1,-2)\]

la normal del plano pedido

\[\vec n=\vec u\times\vec d_{r_1}=(0,2,1)\]

o sea 2y+z+d=0, para hallar d basta evaluar cualquier punto de la recta en él de donde finalmente el plano tiene ecuacion

\[\pi: 2y+z-2=0\]

de las condiciones del ejercicio

\[\vec d_L\perp \vec n\quad \wedge \quad \vec d_L\perp \hat z\to \vec d_L=\vec n\times \hat z=(2,0,0)\]

finalmente la recta pedida tiene ecuacion

\[L: (x,y,z)=(0,0,2)+\lambda (1,0,0)\]

---

2)

\[La\ superficie\ S: Ax^2-y^2+2y+z^2=0\ se\ puede\ escribir\ como \]

\[S: Ax^2-(y-1)^2+z^2=-1\]

\[Si\ expreso\ la\ curva\ como\ C:\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{3}\cos t\\y-1=\sin t \\z=0 \end{matrix}\right.\]

elevo al cuadrado la primera y la segunda, las sumo y despejo convenientemente obtengo

\[C: \left\{\begin{matrix}9x^2+(y-1)^2=1\\z=0 \end{matrix}\right.\]

Para que la proyeccion de S cumpla con lo pedido necesariamente A<0 de donde se deduce que A=-9 , luego S tiene ecuacion

\[S: -9x^2-(y-1)^2+z^2=-1\]

haciendo las intersecciones con los otros planos coordenados , finalmente S corresponde a un hiperboloide de una hoja de eje paralelo al eje z

---

4) De las condiciones dadas tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incognitas

\[\\det A=0\to 2b-a=0\\\\det(A-\lambda I)=det(A-3I)=0\to-b-a=-3\]

de donde resolviendo queda que

\[a=2\ y\ b=-1\]

El otro autovalor hechas las cuentas es 0 entonces , la dim algebraica coincide con la geometrica , por ende A es diagonalizable entonces

\[P=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 &2 \end{pmatrix}\quad D=\begin{pmatrix}3 & 0\\0 & 0 \end{pmatrix}\]

---

5) tomo un generico (x,y) y planteo

\[(x,y)=\alpha(-1,0)+\beta(1,1)\to \alpha=y-x\ \quad \beta=y\]

luego de aplicar G a ambos lados de la igualdad

\[G:R^2\to R^3/G(x,y)=(-2x+2y,y,-x+y)\]

haciendo la composicion , hechas las cuentas (salvo error)

\[G \circ F:R^2\to R^3/G\circ F(x,y)=(-4x+4y,-3x+2y,-z+3y)\]

a) no es monomorfismo

b) el vector propuesto no pertenece a la Img GoF

---

El de complejos se los debo porque yo no tuve esa parte en AGA cuando la curse

El 4 esta mal hecho... -b-a=-3 y 2b=a queda -3b=-3 por lo tanto b es 1 y a es 2, por lo tanto tambien cambia el autovector. perdon por la tardanza en responder, estoy estudiando para rendir mañana jaja

RESPUESTAS DEL PUNTO 5
a)
G(x,y)=(-x+y,y,-x+y)
F(x,y,z)=(x+y+2z, x-y+z, 2y+z)

armas las matrices, las multiplicas y te da

FoG(x,y)=(4y-3x, y-2x, 3y-x), hallas una base de la imagen de fog transformando los canonicos o sacando x e y como factor comun

y por lo tanto la dim de v es = 2 y la dim de la imagen es =a 2, entonces es verdadera tal que el nucleo tiene dim = 0

b)
verdadera ya que ese vector coincide con un vector de a base de la imagen.