se los dejo resuelto



T1) solo hay que usar la definicion

\[f'_{max}=||\nabla h(2,2)||\]

donde

\[\nabla h(2,2)=\nabla f(g(2,2))\nabla g(2,2)=\nabla f(2,1,3)\nabla g(2,2)\]

tenemos el gradiente de f en el enunciado entonces solo resta calcular la matriz jacobiana de g y evaluarla en el (2,2), entonces

\[\nabla h(2,2)=(3,7,1)\cdot \begin{pmatrix}2 &1 \\2 &2 \\2 & 2\end{pmatrix}=(22,19)\]

finalmente

\[f'_{max}=||\nabla h(2,2)||=13\sqrt{5}\]

---

T2) despejando C tenemos

\[C=\frac{1-y^2x}{y}\]

luego por derivacion implicita en la SG dada

\[y^2+2xyy'+Cy'=0\]

reemplazando C , la ED pedida es

\[y^3+xy^2y'+y'=0\]

luego como nos piden la solucion particular, al tener ya la EG de la ED,

basta reemplazar x=2 y=1 de donde \[C=-1\]

luego la SP es

\[xy^2-y=1\]

gracias , damian

---

E1) tomo coordenadas cilindricas para calcular el volumen , entonces con ese cambio

\[r<z<8-r\]

por transitividad

\[r<8-r\to 0<r<4\]

no hay restricciones angulares , entonces

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}\int_{r}^{8-r} rdzdrd\theta=\frac{128}{3}\pi\]

---

E2) por definicion de linea de campo , si \[f(x,y)=(P(x,y), Q(x,y))\] entonces la linea de campo se puede expresar como

\[\frac{dy}{dx}=\frac{Q(x,y)}{P(x,y)}=\frac{-xy}{x^2}=-\frac{y}{x}\]

hay que integrar

\[\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{dx}{x}\to y=\frac{K}{x}\]

la curva que pasa por los puntos pedidos es \[y=\frac{2}{x}\] , por definicion la circulacion esta dada por

\[\omega=\int fds=\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)dx\]

defino la funcion g como

\[g:R\to R^2/g(x)=\left ( x,\frac{2}{x} \right )\]

derivando, componiendo f con g , hay que resolver

\[\omega=\int_{1}^{2} x^2+\frac{4}{x^2}dx=\frac{13}{3}\]

---

E3) tomo la funcion

\[F(x,y,z)=xz+e^{yz-2}-2\]

el gradiente sera

\[\nabla F(x,y,z)=(z,ze^{yz-2},x+ye^{yz-2})\]

la normal del plano vendra dada por

\[\nabla F(1,2,1)=(1,1,3)\]

luego el plano tangente esta definido como

\[\pi: (x-1,y-2,z-1)\cdot(1,1,3)=0\to x+y+3z-6=0\]

por definicion de area de una superficie

\[A=\iint ||g'_u\times g'_v||dudv\]

si parametrizo el plano y escribo como funcion vectorial g, entonces

\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=\left ( x,y,\frac{1}{3}(6-x-y) \right )\]

el producto vectorial de los elementales es

\[g'_x\times g'_y=\left ( \frac{1}{3},\frac{1}{3},1 \right )\]

la norma

\[||g'_x\times g'_y||=\frac{\sqrt{11}}{3}\]

luego

\[A=\frac{\sqrt{11}}{3}\iint dA=\frac{\sqrt{11}}{3}\pi R^2=\frac{\sqrt{11}}{3}\pi\]

---

E4) es igual al de la guia

hay que calcular

\[\varphi=\iint_{\Sigma}f n dA+\iint_S fndA=\iiint_V div f dV\]

de donde

\[\iint_{\Sigma}f n dA=\iiint_V div f dV-\iint_S fndA\]

si tomo coordenadas cilindricas sobre el volumen

\[0<z<4-r^2\]

de donde por transtividad

\[0<4-r^2\to 0<r<2\]

no hay restricciones angulares entonces

\[\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-r^2} (r\sin \theta) rdzdrd\theta=0\]

tomando normal saliente sobre S

\[n=(0,0,-1)\]

\[-2\iint_S dA=-2\pi R^2=-8\pi\]

finalmente

\[\iint_{\Sigma}f n dA=\underbrace{\iiint_V div f dV}_0-\underbrace{\iint_S fndA}_{-8\pi}=8\pi\]

Grande Saga!

Off-topic:

Muy aprobable...una lástima que no lo pude dar

Si era bastante accesible, el unico item que no me esta saliendo, debe ser por la hora es la resolucion de la ecuacion diferencial , se te ocurre algo santi aguito

Off-topic:

te falta el final de am1 o algebra? porque no lo pudiste dar este final, por lo que vine leyendo la tenes bastante clara con am2

Mañana lo veo, estoy re quemado ahora D:...física 1

Off-topic:

No lo pude dar porque la profesora tuvo unos problemas personales, y no nos pudo firmar la libreta. Recién el jueves nos la van a firmar, y va a estar a cargo otro profesor...un bajón, lo voy a dar en septiembre!
Gracias por la observación campeón!

Aprobeee lpm. saga creo que te debo la vida (?).

Muchas gracias, Eric!

Felicitaciones ericlifs!

Off-topic:

Saga, ayudándonos a aprobar AM2 desde tiempos inmemorables (?)

Me sumo al mensaje, aprobe, mil gracias Saga!

felicidades a todos los que aprobaron

APROBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE JEJE
si era bastante accesible... pero me confundi en la ecuacion cuando integre en el e2... y el t2 no era tan facil de entender...
pero lo demas estaba bastante claro...

GRACIAS!!

Yo tambien aprobe, el T2 calcule la S.P. pero no pude hallar la ecuacion diferencial, me pusieron regular ahi, tenia cagaso de tener un regular en el T1 y que me bochen por no tener uno bien de la teoria, porque tengo amigos que con Regular en los 2 teoricos los han bochado, en fin, lo tenia bien al otro teorico y aprobe

Al fin aprobe el final de esta materia, despues de rendir dos veces de manera erronea el martes pude clavar un 7 !

Gran parte de este aprobado es gracias a vos Saga, sos un fenomeno, muchas gracias!

Buenas tardes, tengo una duda con el T2.

Hago la derivada implícita que me da igual que en la resolución, pero al reemplazar el valor de C (el que dice en el resuelto, que también me da así el despeje) en la misma, me da un resultado diferente: \[y^2 + xy{y}' + {(1/y)} . {y}' = 0\]

Otra cosa, no entiendo como puede cambiar el exponente del primer \[x^2\] a \[x^3\], por ejemplo, sólo reemplazando el valor de C.
Estoy haciendo algo mal?

Por otra parte, cuando reemplazo C=-1 en la SG \[xy^2+Cy=1\] para obtener la SP, daría \[xy^2-y=1\] y no \[xy^2-x=1\] como dice el resultado del resuelto, o no?



Muchas gracias Saga por el aporte!
Juan Pablo

(01-12-2014 13:48)JuanPablo escribió:  Buenas tardes, tengo una duda con el T2.

Hago la derivada implícita que me da igual que en la resolución, pero al reemplazar el valor de C (el que dice en el resuelto, que también me da así el despeje) en la misma, me da un resultado diferente: \[y^2 + xy{y}' + {(1/y)} . {y}' = 0\]

Es equivalente multiplica a toda la ecuacion por y , obtenes la misma ecuacion a la que llegue sin fracciones

Cita:Otra cosa, no entiendo como puede cambiar el exponente del primer \[x^2\] a \[x^3\], por ejemplo, sólo reemplazando el valor de C.
Estoy haciendo algo mal?

No se en que parte esta eso... lo podes quotear asi te digo si esta bien o mal

Cita:Por otra parte, cuando reemplazo C=-1 en la SG \[xy^2+Cy=1\] para obtener la SP, daría \[xy^2-y=1\] y no \[xy^2-x=1\] como dice el resultado del resuelto, o no?

Claramente un error de tipeo que ya arreglo , es como decis vos

Me confundí, quise poner \[y^2\] a \[y^3\].
Claro, tenés razón, son equivalentes. No me había dado cuenta.

Muchas gracias, Saga!

Voy a continuar resolviéndo el resto del exámen