Gente, a ver, tengo una duda.

He visto varios ejercicios de parciales (e incluso de la guía), que nos piden hallar la expresión analítica de la transformación teniendo en cuenta que el Núcleo es un subespacio y la imagen es otro subespacio. Generalmente se da en generadores o como la ecuación de un plano con el fin de llegar a una expresión homogénea por así decirlo.

Sin embargo, no entiendo cómo a partir de eso hallar la expresión análitica de la transformación, ya que, si me da la imagen, ¿con sacar su expresión analítica no basta?. Es decir, no serían todos los vectores que transformados den la imagen?

Básicamente eso es una aplicación práctica del teorema de las transformaciones lineales que dice que dados vectores que pertenezcan al dominio y vectores del coodominio (uno de los dos y no me acuerdo cual pero creo que eran los del dominio tienen que ser base y el otro son vectores no necesariamente L.I) podés sacar la expresión analítica de la T.L.
Igual si podés postea un ejercicio y te muestro mejor como se hace.

Saludos!.

Claro, eso lo sé.

Lo que dice el Teorema de las Transformaciones Lineales es que teniendo varios vectores transformados en vectores del codominio podés obtener una posible transformación lineal (en caso de que la base del dominio sea LI, si no es LI puede no existir o existir infinitas).
Sin embargo, en este caso, saqué la imagen y le atribuí valores y a partir de ahí apliqué el teorema, sin embargo me da una transformación lineal que no cumple con la de la respuesta y, casualmente, es la misma imagen o_O.

(24-08-2010 20:56)NathanDrake escribió:  Sin embargo, no entiendo cómo a partir de eso hallar la expresión análitica de la transformación, ya que, si me da la imagen, ¿con sacar su expresión analítica no basta?. Es decir, no serían todos los vectores que transformados den la imagen?

La imagen te dice los vectores transformados, 'los vectores que transformados dan la imagen' es el dominio, mientras que la expresión análitica es la que te da la instrucciones acerca de cómo transformar los vectores, para saber qué imagen le corresponde a cada vector del dominio.

(25-08-2010 13:24)NathanDrake escribió:  (en caso de que la base del dominio sea LI, si no es LI puede no existir o existir infinitas).

La base del dominio siempre es LI, si no es LI, no es base

(25-08-2010 13:24)NathanDrake escribió:  Sin embargo, en este caso, saqué la imagen y le atribuí valores y a partir de ahí apliqué el teorema, sin embargo me da una transformación lineal que no cumple con la de la respuesta y, casualmente, es la misma imagen o_O.

Escribí el enunciado y datos del ejercicio (o si es de la guia y no querés escribir, poné el número de ejercicio)

(25-08-2010 13:36)Anirus escribió:  

(24-08-2010 20:56)NathanDrake escribió:  Sin embargo, no entiendo cómo a partir de eso hallar la expresión análitica de la transformación, ya que, si me da la imagen, ¿con sacar su expresión analítica no basta?. Es decir, no serían todos los vectores que transformados den la imagen?

La imagen te dice los vectores transformados, 'los vectores que transformados dan la imagen' es el dominio, mientras que la expresión análitica es la que te da la instrucciones acerca de cómo transformar los vectores, para saber qué imagen le corresponde a cada vector del dominio.

(25-08-2010 13:24)NathanDrake escribió:  (en caso de que la base del dominio sea LI, si no es LI puede no existir o existir infinitas).

La base del dominio siempre es LI, si no es LI, no es base

(25-08-2010 13:24)NathanDrake escribió:  Sin embargo, en este caso, saqué la imagen y le atribuí valores y a partir de ahí apliqué el teorema, sin embargo me da una transformación lineal que no cumple con la de la respuesta y, casualmente, es la misma imagen o_O.

Escribí el enunciado y datos del ejercicio (o si es de la guia y no querés escribir, poné el número de ejercicio)

Nuestra profesora nos dijo que si nos daban una base no LI podía existir o no la transformación lineal o_O

(25-08-2010 21:33)NathanDrake escribió:  

(25-08-2010 13:36)Anirus escribió:  

(25-08-2010 13:24)NathanDrake escribió:  (en caso de que la base del dominio sea LI, si no es LI puede no existir o existir infinitas).

La base del dominio siempre es LI, si no es LI, no es base

Nuestra profesora nos dijo que si nos daban una base no LI podía existir o no la transformación lineal o_O

Si los vectores son LD, la TL no es única. Pero lo que seguramente te quisieron decir arriba es que no se llama "base", porque la base es un conjunto de vectores LI.

Hola, a ver vamos con unos ejemplos: Sean

\[T(1,0)=(2,0,0)\\ T(0,1)=(3,0,0)\]

claramente los vectores del dominio son base entonces podés aplicar el T.F.T.L pues la T.L existe y es única, tomando un vector (x,y)

\[(x,y)=a(1,0)+b(0,1)......\\T(x,y)=(2x+3y,0,0)\]

ahora bien tomamos otro ejemplo

\[T(1,0)=(2,0,0)\\T(2,0)=(4,0,0)\\T(4,0)=(8,0,0)\]

claramente los vectores del dominio no forman una base pues no son L.I, por definicion la T.L puede o no existir, ahora como verificamos esto??.Una manera toma

\[A=\left\{(1,0)(2,0)\right\}\\B=\left\{(1,0)(4,0)\right\}\\C=\left\{(2,0)(4,0)\right\}\]

ningun conjunto base, si hacés la combinación lineal en A, tenés

(2,0)=a(1,0) claramente a=2 entonces

T(2,0)=2T(1,0) por definicion de T

T(2,0)=2(2,0,0)=(4,0,0)

con B

(4,0)=b(1,0) claramente b=4, entoncés
T(4,0)=4T(1,0) por definición de T

T(4,0)=4(2,0,0)=(8,0,0)

con C

(4,0)=c(2,0) claramente c=2, entoncés

T(4,0)=2T(2,0) por definición de T

T(4,0)=2(4,0,0)=(8,0,0)

por lo tanto existe una T.L no única

Ahora si tenés

\[T(1,0,0)=(4,0)\\T(0,2,0)=(-1,1)\\T(2,-10,0)=(13,5)\]

\[A=\left\{(1,0,0)(0,2,0)(2,-10,0)\right\}\] L.D, podés decir porqué??, luego A no es base, no puedo aplicar el T.F.T.L, lo que implíca que la T.L puede o no existir, haciendo la C.L

(2,-10,0)=a(1,0,0)+b(0,2,0) claramente a=2 y b=-5 entoncés

T(2,-10,0)=2T(1,0,0)-5T(0,2,0) por definción de T

T(2,-10,0)=2(4,0)-5(-1,1)=(13,-5) pero

T(2,-10,0)=(13,5) por lo tanto no existe ninguna T.L

Cita:Sin embargo, no entiendo cómo a partir de eso hallar la expresión análitica de la transformación, ya que, si me da la imagen, ¿con sacar su expresión analítica no basta?. Es decir, no serían todos los vectores que transformados den la imagen?

Si no te dan la imágen no podes definir la expresión analítica, ni decir si la T.L existe o no, cuando los vectores del dominio no son L.I, como habrás notado en los ejemplos anteriores esa afirmación sale justamente de como este definida la imágen de la T.L, bueno espero te sirva de algo

saludos

PD no use latex en el resto del mensaje, porqué las restricciones del sitio solo me permiten hasta 10 imágenes por post, y andar cortanto el mensaje para subirlo es medio enquilombado