Que tal!... estoy haciendo la guia de algebra y no me sale el Ejercicio numero 5c) de Espacios Vectoriales... si alguien me ayuda les agradezco... es:

Halle K perteneciente a reales/ (1,2,0) es combinacion lineal de: {(2,1,-1); (2,1+k,k); (2,2,1)}

Gracias!

Tenés que plantear la combinación lineal

\[(1,2,0)=\alpha .(2,1,-1)+\beta .(2,1+k,k)+\gamma (2,2,1)\]
\[(1,2,0)=(2\alpha+2\beta+2\gamma,\alpha+\beta(1+k)+2\gamma,-\alpha+\beta.k+\gamma)\]

Después vas despejando, yo lo hice de la siguiente manera:

i)\[2\alpha+2\beta+2\gamma=1\]
\[\alpha=-\beta-\gamma+1/2\]

ii)\[\alpha+\beta.(1+k)+2\gamma=2\]
Reemplazo por \alpha y queda
\[\gamma=3/2-\beta.k\]

iii)\[-\alpha+\beta.k+\gamma=0\]
Despejo \beta y queda
\beta=\[\frac{-1/2}{-1+k}\]

Para que la combinación lineal exista, entonces, beta también debe existir, por lo tanto planteas:

\[1-k\neq 0 \rightarrow k\neq1\]

Espero que te sirva

Genial!!!... ya me salio!!!... muchisimas gracias!!!

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y tenes idea de como se hace el 7)???

Dice: determine los valores reales de k para los cuales el conjunto B es LI...

B: son matrices 2x2

10 01 0k 0-k
01 10 1-1 3 1

Tenés que plantear la siguiente combinación lineal

\[\alpha \begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix}0 &1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}+\gamma \begin{pmatrix}0 &k \\ 1 & -1\end{pmatrix}+\delta \begin{pmatrix}0 &3 \\ -k &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &0 \\ 0& 0\end{pmatrix}\]

\[\alpha=0 ; \beta+k.\gamma+3.\delta=0 ; \beta+\gamma-k.\delta=0 ; \alpha-\gamma+\delta=0\]

Empezás a despejar ,,

\[I) \alpha-\gamma+\delta=0 \rightarrow \gamma=\delta\]

\[II) \beta+k.\gamma+3.\delta=0 \rightarrow \beta=-\delta.(k+3)\]

\[III) \beta+\gamma-k.\delta=0 \rightarrow \delta.(2k+2)=0\]

Para que sea L.I, DELTA debe valer 0, por lo tanto lo que lo multiplica no tiene que anularse, entonces

\[2k+2 \neq 0 \rightarrow k\neq-1\]

Gracias de nuevo!

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Vuelvo a molestar con el ejercicio 10b) de la guia de Espacios Vectoriales... dice:

Halle el subespacio W de P2 generado por A={ -3X; X^2+X+1}... es medio tonto pero no me salio...

Muchas gracias!

Gente, yo lo hice al 5)c) con determinantes y no me dio...alguien me da una mano?

y seguramente algun error en tus cuentas Santi Aguito, por determinantes tambien es correcto encarar el ejercicio

Acá el 10 b)
Cuando te piden que halles un subespacio y te dan un conjunto de generadores, lo que tenés que hallar son las ecuaciones del subespacio.
Sabés que W=gen{A} quiere decir que si a los vectores de A los multiplicás por escalares independientes y los sumas arbitrariamente, generas a W, eso vamos a hacer

h,k entre los reales y (ax^2+bx+c) es un vector genérico de P2

h(-3x)+k(x^2+x+1)=(ax^2+bx+c) Temos que hallar qué relaciones existen entre las componentes (a,b,c) del polinomio genérico.
Vamos por parte, primero visualizamos coeficientes de los términos cuadráticos (x^2), luego los lineales(x) y luego los independientes(1)

k=a
-3h+k=b
k=c

De este sistema de ecuaciones, concluimos que a=c en todo W y que b se mantiene independiente y admite cualquier real.
Entonces: W={ax^2+bx+c € P2/a=c}
Esa sería la respuesta Por favor, fijate en las respuestas y avisame si me confundí en algo :/

\[k \in \mathbb{R} / (1,2,0) \hbox{ es C.L. de }\ {(2,1,-1);(2,1+k,k);(2,2,1)}\\\\\hbox{Lo que voy a intentar es resolver el sistema por Gauss Mecanico o Pivote}\\\\ \left(\begin{array}{ccc|c} 2&2&2&1\\ 1&1+k&2&2\\ -1&k&1&0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc|c} 2&2&2&1\\ 0&2k&2&3\\ 0&6k+2&4&1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc|c} 2&2&2&1\\ 0&2k&2&3\\ 0&0&2k+2&-4k+2 \end{array}\right)\\\\\\\hbox{Llego a la ultima linea de donde se desprende una sola ecuacion en funcion de }k\hbox{ despejo, pero no llego al resultado }\\\\2k+2=-4k+2 \Rightarrow 2k+4k=0 \Rightarrow 6k=0 \Rightarrow k=0\\\\\hbox{Podrian decirme si me equivoque en algun paso o en alguna cuenta?}\]