Hola gente tengo duda con 2 ejercicios de flujo

el primero es el Problema 3 llego a un resultado raro y quería ver si me equivoque en cuentas o desarrollo.
Y el que no puedo encarar es el Problema 4 del flujo con el elipsoide.





creo que tome mal uno de los limites de integracion, pero no me puedo dar cuenta cual es si no es raiz de seis

Saludos y gracias como siempre!

no se ve una chota, sacale otra foto

el 3) no se ve bien ... pero sale por definicion directamente, aplicar divergencia es como matar moscas a cañonazos

el 4 ) solo tenes que calcular la divergencia de f, como el elipsoide es cerrado , entonces

flujo=div f *{volumen del elipsoide}

el problema 3 (el del desarrollo) dice:

Calcular el flujo de f(x,y,z)=(x,y,2z-y) a travez del trozo de paraboloide z=x^2+y^2 con y> x^2, z< 6, en el primer octante

Y el problema 4 dice

Calcular el flujo de f(x,y,z)=(xyz,1,1) a traves del elipsoide x^2+2y^2+3z^2=6 (Usando el teorema de divergencia)

en este saco Div. f = yz
pero dsp no se me ocurre mucho como plantear las integrales con sus limites.

Saludos y gracias!

(16-12-2013 21:44)Polito! escribió:  el problema 3 (el del desarrollo) dice:

Calcular el flujo de f(x,y,z)=(x,y,2z-y) a travez del trozo de paraboloide z=x^2+y^2 con y> x^2, z< 6, en el primer octante

esta bien el procedimiento, pero el limite en x no es raiz de 6 es raiz de 3 ... lo demas son cuentas de am1

Cita:Y el problema 4 dice

Calcular el flujo de f(x,y,z)=(xyz,1,1) a traves del elipsoide x^2+2y^2+3z^2=6 (Usando el teorema de divergencia)

en este saco Div. f = yz
pero dsp no se me ocurre mucho como plantear las integrales con sus limites.

Saludos y gracias!

y no es necesario los limites, como te dije en este ejercicio particular, al no tener restricciones en el elipsoide directamente podes hacer

flujo = div f* volumen del elipsoide= div f* 4/3pi a*b*c

para hallar cual es a b c basta dividir por 6 a todo el elipsoide...algebra ...

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(16-12-2013 22:02)Saga escribió:  este ejercicio particular, al no tener restricciones en el elipsoide directamente podes hacer

flujo = div f* volumen del elipsoide= div f* 4/3pi a*b*c

ahi dije una burrada, eso se puede hacer si la div de f fuese constante , pero aca varia, entonces ese razonamiento no va.....

en un rato vuelvo , si es que nadie te contesta, voy a seguir laburando ... disculpa la burrada que me mande en este ejercicio

Gracias SAGA!!!

para el problema 4

1) tomando coordenadas cilindricas generalizadas

\[g:R^3 \to R^3/g(r,\theta,x)=\left ( x,\frac{r}{\sqrt{2}}\cos\theta,\frac{r}{\sqrt{3}}\sin\theta \right )\quad D_g=\frac{r}{\sqrt{6}}\]

el elipsoide se puede expresar como

\[x^2+r^2=6\]

por simetria, podemos limitarlo al primer octante , y mulptiplicar por 8 entonces la integral a resolver es

\[\varphi=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{.\sqrt{6}}\int_{0}^{\sqrt{6-r^2}}\frac{8}{6}r^3\cos\theta\sin\theta dxdrd\theta=\frac{16}{5}\sqrt{6}\]

verificalo en wolfram

2) haciendo un cambio de variable

\[\\x=u\\\\ y=\frac{v}{\sqrt{2}}\\\\z=\frac{w}{.\sqrt{3}}\]

el jacobiano de cambio de variable es

\[\left|\frac{.\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|=\frac{1}{\sqrt{6}}\]

con este cambio el elipsoide se transforma en

\[u^2+v^2+w^2=6\]

y la divergencia en

\[div f=\frac{vw}{\sqrt{6}}\]

entonces el flujo sera

\[\varphi=\iiint_V div f\cdot \left|\frac{\partial(x,y,z)}{.\partial(u,v,w)}\right| dV\]

2.1) sin efectuar ningun cambio de coordenadas, tomando el primer octante y multiplicando por 8

\[\varphi=\int_{0}^{\sqrt{6}}\int_{0}^{\sqrt{6-u^2}}\int_{0}^{\sqrt{6-u^2-v^2}}.\frac{8}{6}vw\cdot dwdvdu=\frac{16}{5}\sqrt{6}\]

verificalo en wolfram

2.2) tomando coordenadas esfericas

\[g:R^3\to R^3/g(r,\theta,w)=(r\cos w\cos\theta,r\cos w\sin\theta,r\sin w)\quad D_g=r^2\cos w\]

el flujo sera

\[\varphi=\iiint_V div f\cdot \left|\frac{.\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|\cdot r^2\cos w dV\]

siempre limitando al primer octante, y multiplicando por 8, solo para ahorrar cuentas tenes que resolver

\[\varphi=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\sqrt{6}}\frac{8}{6}r^4.\cos^2w\sin w\sin\theta\cdot drdwd\theta=\frac{16}{5}\sqrt{6}\]

verificalo en wolfram

3) finalmente de la manera tradicional, dividiendo todo el elipsoide por 6, tomando el cambio

\[\\x=\sqrt{6}r\cos\theta\\\\y=\sqrt{3}r\sin\theta\\\\z=\sqrt{2}.z\]

el jacobiano sera

\[D_g=6.r\]

entonces limitando al primer octante, y multiplicando por 8

\[\varphi=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-r^2}}48\sqrt{6}\sin\theta r^2.z dzdrd\theta=\frac{16}{5}\sqrt{6}\]

verificalo con wolfram

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