Buenas,
ando preparando recuperatorios de AMI y resulta que no encuentro por ningún lado la respuesta a un par de ejercicios de parciales que hice (que obviamente están mal) los cuales andan un poquito picantes, ya que aplicando fórmulas y todo (que, creo, están correctamente hechas) llego a unos resultados que nada que ver. Los paso a ver si algún alma caritativa que sepa sobre el tema me pueda responder.

1) Sea f: D C |R -> |R / Se sabe que g es derivable en Xo = 0 y que la ecuación de la recta tangente a la curva gráfica correspondiente a y=g(x) en A = (0; g(0)) es: y=2x
Analizar si f es derivable en Xo=0.

f(x) = { g(x)/x * sen^2|x| si x<0
ln(1+x) si x>=0

llego por mis medios a que la función es continua.
Problema:
Cuando aplico el cociente incremental para saber si f es derivable me queda:
límx->0 ((g(x) / x * sen^2(x) - g(0) / 0 * sen^2(0)) / x - 0)

Y como claramente g(0) / 0 = 0 / 0 (por lo menos así lo veo yo) digo que el límite ese no existe, ya que no veo forma de poder salvar dicha indeterminación (no hay x así que no puedo hacer nada con los números, creo yo??). Y de forma subsiguiente veo el ejercicio hermosamente tachado con una birome roja, cual espadazo en el corazón </3

2) Sea f:[a; b] C |R -> |R / f' > 2 para todo x perteneciente a |R. Si f(a) < 2a , f(b) > 2b probar que la ecuación f© = 2c tiene al menos una solución real en (a; b). ¿Es única? Fundamentar la respuesta.

Acá se que hay que aplicar Bolzano
Primero se dice que f es continua en su definición.
Segundo se construye una función tal que h(x) = f(x) - 2x
Pero hasta ahí llego, porque después reemplazo las ecuaciones y digo que el producto h(a) * h(b) < h© tiene solución real por teorema de Bolzano y me aparecen signos de pregunta en la hoja por parte de mi linda profesora

3) El polinomio de Mac Laurin asociado a g en potencias del binomio "x" es:
P(x) = 2x + 4x^2
Hallar el polinomio de Mac Laurin de segundo orden, asociado a f(x) = e^(g(x))

Yo leí en algún lado de mi carpeta, así que no invento, cuando digo que P(x) es aproximadamente igual a f(x), por lo que planteo eso en la hoja, y me aparece un cartel gigante diciendo "error conceptual". Por lo que todo el ejercicio está mal. ¿Qué se debe hacer en este ejercicio?

Desde ya gracias a quienes puedan aportar algo, lo que sea, hasta una idea jaja. Estoy en el horno feo con esto.
Saludos!

En el 1)
El límite del cociente incremental
lím x->0- f(x) = lím x->0+ f(x) = f'(x)
En palabras:
La ecuación de la recta tangente a una curva existe sí y sólo sí esa función es derivable. De esto se puede deducir que, el límite del cociente incremental por derecha e izquierda son iguales y eso es lo mismo que f'(x) en el punto. Asimismo f'(0)=2. ¿Por qué? Porque la ecuación de la recta tangente siempre nos da estas dos pistas:
*La imágen de la función en el punto que comparten la función primitiva y su derivada es la misma. Es decir que f(x)=y=g(x) siendo f la curva, g la recta tangente e "y" la imágen
*La imágen de la derivada de la curva está dada por la pendiente de la recta tangente. Es decir que f'(x)=y=z siendo f' la derivada de la curva, "y" su imágen y z la pendiente de la recta tangente dada a la curva.

En el 2) y en el 3)
La resolución es correcta hasta donde entiendo, tengan cuidado si les toman algo así ya que la forma en que lo expresan en la hoja puede no gustarle a ciertos profesores, como me pasó a mí.

No tenía pensado subir la respuesta pero veo que este th tuvo muchas visitas, así que con ayudar a alguno ya estoy feliz. Cualquier duda pregunten, o si disciernen en mis procedimientos avísenme.

Hola

(30-01-2017 08:15)nicolasAM escribió:  1) Sea f: D C |R -> |R / Se sabe que g es derivable en Xo = 0 y que la ecuación de la recta tangente a la curva gráfica correspondiente a y=g(x) en A = (0; g(0)) es: y=2x
Analizar si f es derivable en Xo=0.

f(x) = { g(x)/x * sen^2|x| si x<0
ln(1+x) si x>=0

llego por mis medios a que la función es continua.

¿Esa f(x) que escribís es un dato del enunciado o lo inventaste vos?

(30-01-2017 08:15)nicolasAM escribió:  2) Sea f:[a; b] C |R -> |R / f' > 2 para todo x perteneciente a |R. Si f(a) < 2a , f(b) > 2b probar que la ecuación f© = 2c tiene al menos una solución real en (a; b). ¿Es única? Fundamentar la respuesta.

Acá se que hay que aplicar Bolzano
Primero se dice que f es continua en su definición.

En realidad f es continua porque implícitamente nos están diciendo que es derivable al dar una condición sobre su derivada en todo punto.

(30-01-2017 08:15)nicolasAM escribió:  Segundo se construye una función tal que h(x) = f(x) - 2x
Pero hasta ahí llego, porque después reemplazo las ecuaciones y digo que el producto h(a) * h(b) < h© tiene solución real por teorema de Bolzano y me aparecen signos de pregunta en la hoja por parte de mi linda profesora

Ahora la función \[h(x)=f(x)-2x\] es continua por ser diferencia de continuas. Aplicale el teorema de Bolzano en el intervalo [a, b]. Para la unicidad usá el dato de la derivada.

(30-01-2017 08:15)nicolasAM escribió:  3) El polinomio de Mac Laurin asociado a g en potencias del binomio "x" es:
P(x) = 2x + 4x^2
Hallar el polinomio de Mac Laurin de segundo orden, asociado a f(x) = e^(g(x))

Yo leí en algún lado de mi carpeta, así que no invento, cuando digo que P(x) es aproximadamente igual a f(x), por lo que planteo eso en la hoja, y me aparece un cartel gigante diciendo "error conceptual". Por lo que todo el ejercicio está mal. ¿Qué se debe hacer en este ejercicio?

El polinomio de Taylor (o de Mac Laurin, sólo cambia el centro) de una función es otra función que se aproxima tanto como se quiera a la primera, por lo que P se aproxima a g, no f.

Basta con que a \[f(x)=e^{2x+4x^2}\] le calcules el polinomio de Mac Laurin de grado 2.

Intentá eso o sino volvé a preguntar.

Saludos.