Hola a todos, tengo una duda a la hora de resolver los ejercicios de series. Llego a los resultados pero no se si esta bien conceptualmente. Uno de los ejercicios es este:

\[\sum_{n=1}^{inf.} \frac{2^n + (-3^n)}{6^n} =\sum_{n=1}^{inf.} (\frac{1}{3})^n + (\frac{-1}{2})^n\]

De ahi lo hice como si fueran dos series geometricas (aca mi duda):

\[\sum_{n=1}^{inf.} (\frac{1}{3})^n =\frac{\frac{1}{3}}{1 -\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}\]

\[\sum_{n=1}^{inf.} (\frac{-1}{2})^n =\frac{\frac{-1}{2}}{1 +\frac{1}{2}} = \frac{-1}{3}\]

Despues sume los dos resultados y me dio 1/6. Que es el resultado de la guia, pero no se si es conceptualmente correcto lo que hice.

En esta serie tenia tenia pensado hacer lo mismo:

\[\sum_{n=1}^{inf.} \frac{2}{\sqrt[3]{n}} - \frac{3}{\sqrt{n}}\]

Tenia pensado distribuir las series, como los exponentes de la n son menores a 1, entonces las dos divergen.

Muchas gracias a todos.

En el primer ejercicio, podés plantearlo así:

Sabés que \[Sn= \frac{1}{1-q}\]. Primero que nada, podés separarlas porque ambas convergen.

Como en el primero, q = 1/3, reemplazando ahí queda:
\[Sn= \frac{1}{1-(1/3)} = 3/2\]
Como empieza en n=1, tenés que restarle el término con n=0 (recordá que Sn es para las series que comienzan en n=0)
Entonces:
\[3/2 = (1/3)^{0} + \sum_{1}^{inf} (1/3)^{n}\]
Despejando, obtenés que:
\[1/2 = \sum_{1}^{inf} (1/3)^{n}\]
Para la otra serie en la cual lo separaste, como q = -1/2 procedés igual, y vas a obtener que la suma es -1/3. Sumando ambas da 1/6, como bien dijiste.

Respecto al segundo, no podés separar las dos series porque no CV y se sabe que:

DV + DV = DV
- DV - DV = DV

PERO: DV - DV ??? no se sabe. No podés separarlas ni determinar nada así.

Muchas gracias por tu respuesta. En el segundo caso que plantié, como hiciste para ver que los dos terminos eran DV ?

(20-11-2013 16:42)Feddyn escribió:  Muchas gracias por tu respuesta. En el segundo caso que plantié, como hiciste para ver que los dos terminos eran DV ?

Por la propiedad de las SAG, cuando es menor que 1 DV, si lo separas en dos, divergen ambos por lo tanto no podes saber. Usé la misma propiedad que mencionaste vos antes