Hola, les queria pedir si me pueden dar una mano con 2 ejercicios que no me terminan de salir de algebra. uno de recta y plano y otro de subespacios.
1. Dados

π: 3x - 2y + z= m

L: x - y= 1
kx + z= 0 (L dada por 2 planos (por si no se entiende))

Halle k y m, si existen, para que la recta L este incluida en el plano π

2. Sean los subespacios de R4: S1: {(x,y,z,t) ∈ R4 / x=y=z=t} y S2: {(x,y,z,t) ∈ R4 / y=x}

a. Halle base y dim de S1 + S2
b Halle base y dim de S1 ∩ S2

Gracias!

El primer ejercicio:

Saque el vector director de L= N1 X N2 => VL=(-1 , -1, K)
Después saco un Punto de la recta igualando X a 0 => X=0, Y= -1 ,Z= 0
Entonces L me queda asi: L: (x,y,z)= (0, -1, 0) + lambda (-1, -1, K)
Si L c π => el punto de la recta pertenece al plano... Remplazo el punto en π: 3*(0) -2*(-1)+ 1*(0) = m
2 = m => π: 3x -2y +z -2= 0
Ahora para hallar K, el producto escalar entre la normal del plano π y el vector director L = 0 (por ser perpendiculares)
Entonces VL * nπ = 0
(-1 ,-1, K) * (3, -2, 1) = -3 +2 +K= 0 => -1 +K =0 => K= 1

2)
S1: (x,x,x,x)
Sacas factor común x => x*(1,1,1,1)
Entonces S1= gen {(1,1,1,1)}
Base de S1 = gen {(1,1,1,1)}

S2: (x,x,z,t)
Sacas factor comun x,z,t => x*(1,1,0,0) +z*(0,0,1,0) +t*(0,0,0,1)
S2= gen {(1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}
como son LI
Base S2= gen {(1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}

S1 ∩ S2:
x=y => y=x -----> de S1
y=z => z=x -----> de S1
z=t => t=x -----> de S1
y=x => y=x ------> de S2
(x,x,x,x)
Factor comun x=> x*(1,1,1,1)
S1 ∩S2 = gen{(1,1,1,1)}
Base de S1 ∩S2 = gen{(1,1,1,1)}
dim base (S1 ∩ S2) = 1 (No es directa)

S1+S2= gen {(1,1,1,1),(1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}
(1,1,1,1) es combinacion lineal de los otros 3 vectores, entonces la base de S1+S2= {(1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}
Dim base (s1+s2) = 3