Gente, estoy tratando de resolver el ejercicio 3 del final que tomaron el 05/03/2009 y no me doy cuenta que hacer Dice así:

Sea T: R3-->R4 tal que

T(0,0,2) = (b,0,0,0)
T(1,1,1) = (b,0,0,1)
T(2,1,1) = (0,0,0,b)

Obtenga todos los b tales que la dimensión de la Imagen de T sea 1. Justifique y obtenga la expresión analítica de la TL.

Para sacar la expresión analítica no tendría problema, se que tengo que hacer la CL de los 3 vectores de la base igualados a (x,y,z), y después aplico transformación. Mi problema es sacar el valor de "b". No tengo idea como me condiciona que la Imagen sea 1.

Agradezco una ayuda

Bueno, al final lo seguí un poco y *creo* que me salió. Lo que hice fue saqué como M(T)

-b b b
0 0 0
0 0 0
-1+b 2-b 0

esto lo multiplique por ( x y z ) y lo iguale a (0 0 0 0) para obtener el núcleo. De acá me queda el sistema:

{ -bX + bY + bZ = 0
(-1+b)X + (2-b)Y =0

sumo miembro a miembro, me queda -X + 2Y + bZ = 0 ---> X = 2Y + bZ

y ahi lo que hice fue probar, si b=0 me quedaba dimension 2, y si b era distinto de 0 tambien quedaba de dimension 2 y por teorema de las dimensiones si mi la dim IM =1 , entonces dim NU = 2. Entonces, no influye el valor de b, y puede ser cualquier real ya que siempre la dimension del nucleo va a ser 2.

Ahora, habria una forma mas corta y facil de darse cuenta que b puede ser cualquier numero real?? Si alguien lo sabe, por favor que lo diga

Hola

Gauss escribió:Gente, estoy tratando de resolver el ejercicio 3 del final que tomaron el 05/03/2009 y no me doy cuenta que hacer Dice así:

Sea T: R3-->R4 tal que

T(0,0,2) = (b,0,0,0)
T(1,1,1) = (b,0,0,1)
T(2,1,1) = (0,0,0,b)

Obtenga todos los b tales que la dimensión de la Imagen de T sea 1. Justifique y obtenga la expresión analítica de la TL.

Por definición

\[M(t)=[T(0,0,2)^t\ T(1,1,1)^t\ T(2,1,1)^t]=A=\begin{bmatrix}{b}&{b}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{b}\end{bmatrix}\]

como la dim Im(T)=rg(A) se observa claramente que el rango de la matriz A sera menor o igual que 2, para que tenga dimensión 1 entonces el rango de A<2 por lo que si b=0 el
rg(A)=1 y si \[b\neq 0\] el rg(A)=2. Conclusión para b=0 la dim Im(T)=1 lo que implica que la dim Nu(T)=2 por lo tanto T no es isomorfismo .

Gauss escribió:Bueno, al final lo seguí un poco y *creo* que me salió. Lo que hice fue saqué como M(T)

[{ -bX + bY + bZ = 0
(-1+b)X + (2-b)Y =0

Otro camino

Cita:y ahi lo que hice fue probar, si b=0 me quedaba dimension 2

esto es cierto, te queda definida la ecuación de un plano cuya dimensión es 2, pero

Cita:, y si b era distinto de 0 tambien quedaba de dimension 2

eso falso ya que si b es distinto de 0 tenés definidas las ecuaciones de una recta en forma implícita de dimensión 1

Cita:Ahora, habria una forma mas corta y facil

Para mi la que te dije primero es la forma mas corta, analizando el rango de la matriz A

saludos

Antes que nada, muchas gracias por la respuesta. Ahora, yo para sacar la M(T) la hice tomando las base canonica de R3, le aplique TL y eso lo expresé como CL de la base canonica de R4. Por eso me da:

-b b b
0 0 0
0 0 0
-1+b 2-b 0

En cambio vos tomas como base los vectores que me daban, y por eso la M(T) queda distinta y te termina dando b=0. Cual es la base que hay que tomar entonces? Me hago lío con eso :'(

Hola

Gauss escribió:Antes que nada, muchas gracias por la respuesta. Ahora, yo para sacar la M(T) la hice tomando las base canonica de R3, le aplique TL y eso lo expresé como CL de la base canonica de R4. Por eso me da:

-b b b
0 0 0
0 0 0
-1+b 2-b 0

A ver me parece que estas confundiendo las cosas, no tenias porque tomar una base canónica si la base te la daban .
En este ejercicio en particular , la base es B={(0,0,2)(1,1,1)(2,1,1)} podés comprobar que son LI, sino no tendría sentido definir una T.L, y te estan diciendo que la imágen de los vectores pertenecientes a essa base es T(0,0,2)=(b,0,0,0) T(1,1,1)=(b,0,0,1) T(2,1,1)=(0,0,0,b) por eso la M(T) la tomás de acá directamente, como en el enunciado no hay ninguna otra base en juego (a no ser que no lo hayas posteado), aplicás la definición de M(T) que te puse en mi anterior post.

Otra cosa

Cita:Ahora, yo para sacar la M(T) la hice tomando las base canonica de R3, le aplique TL

Lo que hiciste estaría bien si tenés la expresión analítica, pero no la tenés, de echo es un punto del ejercicio hallarla, entiendo que tomaste la base canónica (que acá no correspondia) y lo evaluaste en la imágen de los vectores dados, que no es lo mismo que la expresión analítica de T.L, ( ¿¿ó estoy equivocado?? ), recorda que con la expresión analítica vos obtenes la imágen de cualquier vector del espacio de salida, lo que vos hiciste esta mal, te dieron la imágen de un vector y vos le diste esa misma imágen a otro vector, no se si me entendes.

saludos

Ya se que la publicación es vieja, pero quería compartir lo que hice yo y mis esultados... lo primero que hice fue hallar la expresión analítica de la TL en función de b (es decir, desconociendo el valor de b), luego escribi la matriz de la TL... me pedía dimensión de la imagen igual a 1, es decir el rango de la matriz igual a 1... como bien dijeron ya desde el principo sabíamos que el rango iba a ser menor o igual a 2... haciendo gauss jordan obtuve que b tiene que ser igual a-1 para que el rango de la matriz sea 1. y la expresión analítica de la TL me quedó así:

T (x,y,z) = ( x -3/2 y - 1/2 z ; 0 ; 0 ; -2x +3y)

Saludos.