Hola, nose como hacer este ejercicio de algebra:

Yo lo plantee asi por ahora pero se que esta mal.





Si alguien me puede ayudar gracias!

Primero busca el espacio generado por los vectores V1 y V2 y después plantea la proyección ortogonal de un vector genérico de R4 , o sea (x,y,z,w), sobre el espacio generado por V1 y V2, esa va a ser la expresión analítica de la transformación que estas buscando, el resto es un análisis común de una transformación lineal, creo que es así.

(11-02-2016 23:15)Fede Mancuello escribió:  Primero busca el espacio generado por los vectores V1 y V2 y después plantea la proyección ortogonal de un vector genérico de R4 , o sea (x,y,z,w), sobre el espacio generado por V1 y V2, esa va a ser la expresión analítica de la transformación que estas buscando, el resto es un análisis común de una transformación lineal, creo que es así.

Perfecto fede, despues de plantear la proyeccion ortogonal ahi ya me ubico más. El tema es la primer parte, como busco el espacio generado por esos dos vectores (Que son LI) ?

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Mira (trate de hacer lo que me dijiste) y me quedo algo asi. Va o no va?

Un conjunto de generadores no tiene que ser necesariamente LI, una base si, pero no viene al caso. El espacio generado van a ser todos los vectores que puedas formar como combinación lineal de V1 y V2. Por dar un ejemplo tomemos 2 vectores cualquiera de R2, (1;1) y (-1;0), creo que es facil notar que a partir de estos 2 vectores puedo formar cualquiera de R2 , de nuevo, para ver que espacio generan hay que plantear todas las combinaciones lineales de estos vectores para ver que puedo formar con ellos, entonces:

\[(x;y) = \alpha (1;1) + \beta (-1;0)\] con alfa y beta en los reales.

lo que estoy planteando acá es que pares (x;y) puedo formar como combinacion lineal de (1;1) y (-1;0) , esto lo voy a saber resolviendo el sistema de ecuaciones que resulta de lo planteado arriba, para ver si el alfa y el beta existen y asi poder formar cualquier par (x;y), asique entonces tenemos:

\[\begin{pmatrix} 1& 1 & x\\ -1 & 0 & y \end{pmatrix}\]

y resolviendo por gauss-jordan queda:

\[\begin{pmatrix} 1& 0 & -y\\ 0 & 1 & x+y \end{pmatrix}\]

entonces alfa = - y ^ beta = x+y , lo importante de esto es que con los vectores (1;1) y (-1;0) el alfa y el beta existen para cualquier par (x;y) que yo quiera formar, en conclusión con los vectores (1;1) y (-1;0) puedo formar todo R2, entonces el espacio generado por el (1;1) y (-1;0) es R2.
Si en vez de los vectores (1;1) y (-1;0) hubiera elegido 2 que fueran paralelos entre si el espacio generado hubiera sido una recta. Por ejemplo tomemos los vectores (1;1) y (2;2), claramente son paralelos, ahora busco el espacio generado planteando todas las combinaciones lineales posibles:

\[(x;y) = \alpha (1;1) + \beta (2;2)\]

\[\begin{pmatrix} 1& 1& x\\ 2& 2 & y\end{pmatrix}\]

haciendo gauss-jordan

\[\begin{pmatrix} 1& 1& x\\ 0& 0 & -2x+y\end{pmatrix}\]

en este caso si -2x+y no es igual a 0 tendriamos un absurdo y por lo tanto el sistema sería incompatible, o sea que el alfa y el beta no existirian y por lo tanto hay ciertos vectores que no puedo formar como combinacion lineal del (1;1) y el (2;2), pero yo busco lo que puedo formar, o sea el espacio generado, en este caso el sistema tiene solución si y solo si -2x + y = 0 , si te das cuenta esta es la ecuación implicita de una recta en R2, voy a poder formar todos los (x;y) que cumplan con la condicion de -2x+y = 0 , y este es el espacio generado, ahora tenes que hacer lo mismo con V1 y V2.

Dependiendo de la teoría que hayan dado en clase se puede hacer sin ninguna cuenta. Si tenés algo en la carpeta sobre proyecciones ortogonales podés resolverlo casi sin hacer ninguna cuenta.

Para la parte a). La imagen es S porque es una proyección ortogonal sobre S. El núcleo es S ortogonal por lo mismo. La dimensión de S es 2 porque v1 y v2 generan S y son LI. La dimensión de S ortogonal es 2 (4 menos la dimensión de S). Podés buscar generadores de S ortogonal para dar una base(única cuenta).

Para la parte b). Las cosas del núcleo son autovectores de autovalor 0. Las cosas de la imagen son autovectores de autovalor 1 porque los proyectores coinciden con la identidad sobre su imagen. El núcleo y la imagen están suma directa por tratarse de proyector. Pegá una base de la imagen con una del núcleo y en esa base tenés una matriz diagonal con unos y ceros en la diagonal (dos y dos).

Ya entendi! Gracias a los dos