Hola gente, estaría necesitando ayuda con este ejercicio de final.

Sea la superficie de ecuación: \[A(x-1)^{2}+B(y-2)^{2}+(z-3)^{2} = C -4\]
Halle todos los valores de A,B y C, si existen, para que la ecuación represente una superficie cónica, tal que la intersección con el plano Z=5 sea una hipérbola equilátera cuyo uno de sus vértices es el punto V(1,0,5).

El problema con este ejercicio es que no sé que hacer con el vértice, que tipo de dato me aportaría.

Gracias!

En este caso. Solamente te dice que es de eje focal x. Ya que te dice y =0, x=1. El z= 5 es un dato redundante, Ya que te dice que esta interceptado con plano z=5. Disculpame la simpleza, Es que estoy desde el celu. Espero haberte sido útil.

Te adjunto una foto de como lo hice yo. Rindo mañana por lo que no sería 100% que esté bien. Pero segun lo que tengo de teoría estaría bien. El dato que sacas del vértice es "a". Está un poco con "mi prolijidad" la hoja. Si no entendes algo, consultame sin problemas.
Si alguno me puede dar una mano con los teóricos se agradece !



Saludos !

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La verdad que no se como insertar la foto. Trato de explicarte aca lo que hice.
Con el vértice V=(1;0) sacas "a". ya que el vértice de una hipérbola con ejes desplazados es V= (H;a+K). En este caso te dice también que el eje focal es paralelo al eje y, ya que la componente de la hipérbola que se anula con el vertice es la componente negativa y por lo tanto la otra componente es el eje focal.

Con eso sacas que a+K = 0 , por lo que a = 2 = -2 (te interesa el cuadrado de a)
Luego con a sacas C, ya que C-8 = a2 (cuando z=5), lo que da C=12

Espero que entiendas algo! Saludos

Primero como dice que es una superficie cónica tiene que estar igualada a cero y uno de sus términos tiene que tener signo distinto:
De acá \[A(X-1)^2+B(Y-2)^2+(Z-3)^2=C-4\] lo único que podés sacar por ahora es que C-4=0 => C=4

Después dice que cuando intersecás la sup. cónica con el plano Z=5 te dá una hipérbola equilátera y te queda así:
\[A(X-1)^2+B(Y-2)^2+(5-3)^2=0\]
\[\frac{(X-1)^2}{\frac{-4}{A}} + \frac{(Y-2)^2}{\frac{-4}{B}}= \frac{-4}{-4}\]
\[\frac{(X-1)^2}{\frac{-4}{A}} + \frac{(Y-2)^2}{\frac{-4}{B}}= 1\]

Ahora usando que es equilatera \[\frac{-4}{A}=\frac{-4}{B}\] pero si tienen el mismo signo entoces no va a ser una hipérbola => A=-B
\[\frac{(X-1)^2}{\frac{4}{B}} + \frac{(Y-2)^2}{\frac{-4}{B}}= 1\]
El vértice pertenece a la hipérbola por lo tanto tiene que cumplir con la ecuación y como estamos trabajando en el plano Z=5 el vértice queda V=(1,0)
Reemplazando en la ec. de la hipérbola queda:
\[\frac{4}{\frac{-4}{B}}= 1 \]
B=-1
Y la ec. de la hipérbola queda:
\[-\frac{(X-1)^2}{4} + \frac{(Y-2)^2}{4}= 1\]
Y como A=-B => A=1

Reemplazando los A, B, C en la primer ecuación:
\[(X-1)^2-(Y-2)^2+(Z-3)^2=0\]
Tiene la forma de una superficie cónica por que lo se puede afirmar que existen A, B y C.