Hola gente! tengo el siguiente ejercicio de parcial. Hice todo los puntos pero tengo duda con el item c)
El ejercicio es el siguiente:

\[f (x,y) = \frac{(x-1)^2 sen(5y)}{(x-1)^2+y^2}\] si \[(x,y)\not=(1.0) \]

y \[f (x,y) = 0 \] si \[(x,y)=(1.0) \]


a)analizar la continuidad de f en (1.0)
b)analizar la existencia de derivadas direccionales en (1.0)
c)estudiar la diferenciabilidad en (1.0) APLICANDO LA DEFINICION
d)la grafica de f ¿admite plano tangente en el punto (1.0.0)? Justificar la respuesta.

a) es continua en (1.0)
b) existen todas las derivadas direccionales en (1.0)

c) para este punto planteo lo siguiente. Uds me diran si esta bien o mal. Igual no lo termino de entender y estoy trabado en este punto

por definicion tengo...

\[f(x,y)+f´_{x}(x-x_{0})+f´_{y}(y-y_{0})+r(h_{1};h_{2})\]

no termino de entender como analizar el termino

\[r(h_{1};h_{2})\]

si alguien me puede dar una mano lo agradeceria

Slds!

por definicion no tenes que demostrar la existencia del jacobiano?

Basta probar que el limite \[r(h_1,h_2)\] tienda a 0, caso contrario f no es diferenciable

h es el vector incremento (h1,h2) y vos tenés que analizar el tipo de comportamiento de la función en el entorno de (x0,y0). Y por qué digo "tipo" de comportamiento? porque no interesa el valor de la función, si no que el campo sea de curvas suaves y eso equivale a decir que la diferencia entre la función y un posible plano tangente en (x0,y0) sea despreciable y tienda a cero en el entorno de (x0,y0). Esto se demuestra con que el lím(h->0) de a(h)/|h| dé CERO. Usando h vector incremento (h1,h2,...,hn) justamente te alejás del punto en una dirección y en otra (distancia despreciable) y a(h)= f(x10+h1,x20+h2,...xn0+hn)-f(x10,x20,...,xn0)-Df.(h1,h2,...,hn) y |h|=(h1^2+h2^2+...+hn^2)^(1/2). Df es el vector o matriz de las derivadas parciales en el punto y Df.(h1,h2,...,hn) es la famosa transformación lineal que tanto dicen... Es un productito escalar y ya! Si analizás los términos de ese a(h) ves que coincide con lo que te dije al ppio y al dividirlo por el |(h1,h2,...,hn)| estás diciendo que a(x), la diferencia, cuando el lím da cero es un infinitésimo de orden superior al |h|, por eso es "diferenciable". En tu caso, como f va de R2 a R, h es (h1,h2) y el punto es (x0,y0)
Te queda plantear ese límite, y cuando llegues a una expresión donde no sepas qué hacer con el módulo de h en el denominador, pasá a coordenadas polares y sale al toque:
x-x0=h1=r.cost y como h1-->0 entonces r-->0
y-y0=h2=r.sent y como h2-->0 entonces r-->0

por lo tanto te queda lím(r-->0) a(r.cost,r.sent)/(rr.cos^2t+rr.sen^2t)^(1/2)
y esto último se escribe [r^2(cos^2t+sen^2t)]^(1/2) que es igual a r

(27-07-2013 08:50)Bauingenieurwesen escribió:  no sepas qué hacer con el módulo de h en el denominador, pasá a coordenadas polares y sale al toque:

no sabia que ya era tema de la cursada , resolucion de limites dobles con coordenadas polares.... desde cuando lo implementaron ?? pregunto porque cuando la curse.... ese tema no se usaba para limites dobles

(27-07-2013 11:41)Saga escribió:  

(27-07-2013 08:50)Bauingenieurwesen escribió:  no sepas qué hacer con el módulo de h en el denominador, pasá a coordenadas polares y sale al toque:

no sabia que ya era tema de la cursada , resolucion de limites dobles con coordenadas polares.... desde cuando lo implementaron ?? pregunto porque cuando la curse.... ese tema no se usaba para limites dobles

Yo la estoy cursando ahora, anual. Curso con Miguel Albione. No sé si los demás también vieron polares... Por ejemplo, en ecuaciones diferenciales lineales, Albione nos enseñó un método que los de las demás cursadas no ven (el del factor integrante). Así que puede que esto tampoco lo hayan visto los demás... Igual te digo algo, yo no lo sé resolver por otro método ese límite, teniendo un denominador tan horrendo como (h1^2+h2^2)^(1/2) xD Cómo lo viste vos?

(27-07-2013 18:03)Bauingenieurwesen escribió:  Yo la estoy cursando ahora, anual. Curso con Miguel Albione. No sé si los demás también vieron polares... Por ejemplo, en ecuaciones diferenciales lineales, Albione nos enseñó un método que los de las demás cursadas no ven (el del factor integrante). Así que puede que esto tampoco lo hayan visto los demás... Igual te digo algo, yo no lo sé resolver por otro método ese límite, teniendo un denominador tan horrendo como (h1^2+h2^2)^(1/2) xD Cómo lo viste vos?

se ve que cambio el programa entonces..... y el de ec diferenciales, si los vi, ese metodo y el de couchy, de hecho el de factor integrante es una consecuencia del teorema de couchy..... solo preguntaba nada mas